miércoles, 31 de diciembre de 2014

Felicidades

MATEMATICA - Función exponencial y función logarítmica

EL CALCULO LOGARITMICO
El cálculo con logaritmos es ventajoso porque "rebaja" el nivel de las operaciones reduciendo el producto a suma; el cociente a resta; la potencia a producto y la raíz a cociente. He aquí las reglas fundamentales para el cálculo logarítmico:
1) El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores:
log x . y = log x + log y
2) El logaritmo de un cociente es igual a la diferencia de los logaritmos del dividendo y del divisor:
log x : y = log x — log y
3) El logaritmo de una potencia se obtiene multiplicando por el exponente el logaritmo de la base:
log x? = n . log x
Esta regla vale igualmente para exponentes fraccionarios, es decir para las raíces y se enuncia así:
4) El logaritmo de una raíz se obtiene dividiendo el logaritmo de la cantidad subradical por el índice de la raíz:
log ?vx = (log x)/n

martes, 30 de diciembre de 2014

MATEMATICA - Aritmética de los números negativos

MULTIPLICACION Y DIVISION
PRODUCTO. — Se llama producto de dos números enteros al número que se obtiene multiplicando los valores absolutos y dando al producto obtenido el signo + o el —, según que los factores sean de igual o distinto signo. Así será:
(+50) . (+3) = + 150 (+50) . (—3) = —150 (—50) . (+3) =— 150 (—50) . (—3) = + 150
Lo que más sorprende de esta definición es el último caso, en el que se afirma que el producto de dos factores negativos resulta positivo. Daremos un ejemplo concreto que en cierto modo sirve de justificación a la definición. Supongamos que elegimos el punto A de un camino rectilíneo como origen a partir del cual contamos las distancias, considerando como positivas las que están en la dirección AB y negativas las que están en la dirección AC. El mismo sentido adoptamos para las velocidades y elegimos un cierto origen para contar los tiempos, de modo que los posteriores a ese origen son positivos y los anteriores, negativos.
Si un automóvil marcha regularmente a 50 km por hora y consideramos un período de 3 horas pueden plantearse los siguientes casos: 1) El automóvil marchando en la dirección AB dentro de 3 horas, ¿a qué distancia estará de A? Evidentemente a 150 km de A en la dirección AB. Con los signos adoptados (+50) . (+3) = +150 2) El automóvil que marcha en la dirección AB hace 3 horas ¿a qué distancia estaba de A? A 150 km de A en la dirección AC. En símbolos: (+50) . (—3) = —150 3) El automóvil que marcha en la dirección AC ¿dentro de 3 horas a qué distancia estará de A? A 150 km de A en la dirección AC. En símbolos: (—50) . (+3) = —150 4) El automóvil que marcha en la dirección AC hace 3 horas ¿a qué distancia de A estaba? Estaba a 150 km de A en la dirección AB. En símbolos: (—50) . (—3) = +150
COCIENTE. —Como el cociente de dos números es otro número que multiplicado por el segundo da el primero, los casos de cocientes se llevan a casos de producto y en particular vale la regla de los signos: el cociente de los números de igual signo es positivo y de distinto signo es negativo.

lunes, 29 de diciembre de 2014

MATEMATICA - Aritmética de los números negativos

MAGNITUDES POSITIVAS Y NEGATIVAS
Cuando se trata de sumar dos números naturales, por ejemplo 5 y 9, basta con agregar a uno de los números las unidades del otro; o si se considera la serie natural de los números:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,...
Basta hallar el número que sigue 9 lugares al número 5. Mientras la suma de dos números naturales siempre da otro número natural, en cambio, si se trata de efectuar la resta 5 — 9, se ve que no hay ningún número natural que sumado a 9 nos dé 5. Asimismo, si a partir del 5 queremos retroceder en la serie natural de los números 9 lugares, no podremos hacerlo. Sin embargo, hay magnitudes en que tal retroceso más allá del cero es posible y hasta inevitable. ¿Quién duda de que existen temperaturas inferiores al cero del termómetro usual? Y cualquiera con cuenta corriente en un banco sabe que hay algo peor que ver reducido a 0 el saldo, y es tener saldo deudor; eso es tener menos que nada, es tener capital negativo. Recordemos además que no sólo han existido hombres antes del año 0, sino que aquellas generaciones griegas de los siglos anteriores a Cristo, no han sido superadas en los siglos posteriores.

domingo, 28 de diciembre de 2014

MATEMATICA - Aritmética de los números negativos

INTRODUCCION DE LOS NUMEROS NEGATIVOS
Para representar las cantidades negativas y para hacer posible la sustracción en todos los casos, se han introducido los números negativos, que se escriben anteponiendo a los números naturales el signo —, notación uniforme mucho más cómoda que las diversas abreviaturas usuales: bajo cero, saldo deudor, antes de J. C., ... Así escribiremos, de modo uniforme: Temperatura — 30 Saldo —$ 157,50 Siglo —IV Año —300
Los números naturales y los negativos, reciben el nombre genérico de números enteros y la serie ordenada de los enteros es:
…, —7, —6, —5, —4, —3, —2, —1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...
En esta clase de los números enteros es posible efectuar la resta en todos los casos. Así, en el ejemplo anterior:
5 — 9 = — 4
Puesto que el número que está a 9 lugares hacia la izquierda a partir del 5 es el —4.
Valor absoluto de un número negativo es el número natural que le corresponde, cualquiera que sea el signo del primero.
A pesar de que ya Platón en el año 400 tuvo la idea de los números negativos, éstos no fueron introducidos definitivamente en la Aritmética hasta 1755, por obra de Euler, uno de los más grandes matemáticos de todos los tiempos. Corresponde decir que Descartes también usó los números negativos y lo mismo hizo Newton, en su famosa Aritmética Universal, en 1707.

sábado, 27 de diciembre de 2014

MATEMATICA - Aritmética de los números negativos

ALGEBRA Y GEOMETRIA ANALITICA
Los griegos elaboraron la Aritmética inseparablemente unida a la Geometría; los números no eran para ellos, sino representantes de longitudes, áreas y volúmenes. El cuadrado o cubo de un número simbolizaban el área de un cuadrado o el volumen de un cubo, así como el producto representaba un rectángulo; la magnífica teoría de las proporciones, creada por Eudoxio y expuesta en los Elementos de Euclides, expresaba la proporcionalidad entre magnitudes. Casi diametralmente opuesta a la mentalidad griega, que era geométrica, la de los hindúes era esencialmente aritmética; los números eran para ellos meros símbolos sometidos a ciertas leyes del cálculo, y así crearon el Algebra pura, emancipada de la Geometría. La reacción contra tales abstracciones sobrevino en el Renacimiento, y retornando a Euclides se tendió nuevamente el puente que había sido roto. Pero esta conexión armoniosa entre ambas disciplinas duró poco, y en el siglo XVII los algebristas se emancipan de la tutela geométrica, adoptando la notación literal, con grandes ventajas de generalidad y sencillez. Esta Algebra simbólica o especiosa fue la desarrollada por el francés Vieta, creador del frondoso simbolismo que ha atormentado innecesariamente a tantas generaciones de bachilleres, sadismo del que está libre este modesto resumen. El Algebra así desarrollada como ciencia autónoma se puso después al servicio de la Geometría, por obra de Descartes y Fermat, retribuyendo así los servicios recibidos en su edad infantil; pero al mismo tiempo la enseñanza del Algebra se humanizó, sirviéndose de recursos geométricos para dar plasticidad a las relaciones algebraicas abstractas, haciéndolas entrar por los ojos.

viernes, 26 de diciembre de 2014

MATEMATICA - Areas y volúmenes

PRINCIPIO DE CAVALIERI
El jesuita italiano Buenaventura Cavalieri, nacido en los últimos años del siglo XVI, ideó el método de los indivisibles que permite calcular los volúmenes de algunos cuerpos.
Si las secciones de los distintos cuerpos rayadas en la figura son de igual superficie, cualquiera sea el plano paralelo al plano de la base con que se produce la sección, los cuerpos tienen igual volumen, puesto que pueden concebirse como "formados por igual número de hojas de igual superficie y espesor"; y esto es lo que afirma precisamente el principio de Cavalieri: "Si dos cuerpos tienen iguales o equivalentes las secciones producidas por cada posición de un plano que se mueve paralelamente a sí mismo, ambos cuerpos son equivalentes; es decir tienen igual volumen." De acuerdo a este principio resulta que prismas y cilindros de bases equivalentes e igual altura tienen igual volumen, porque las secciones hechas a cualquier altura reproducen la base. Si elegimos como prisma de comparación precisamente el ortoedro del número anterior, resulta que el volumen de un prisma o de un cilindro es igual al producto del área de la base por la altura.

jueves, 25 de diciembre de 2014

MATEMATICA - Segmentos proporcionales y figuras semejantes

TALES DE MILETO CALCULA LA ALTURA DE LAS PIRAMIDES DE EGIPTO
Dice Plutarco que el rey Amasin de Egipto admiraba a Tales sobre todo por haber medido las alturas de las pirámides "sin instrumento alguno", colocando un bastón y comparando su sombra con la arrojada por la pirámide, con lo que observaba que "una sombra está con la otra en igual proporción que la pirámide con el bastón"
La proporción utilizada por Tales es ésta:
OA / OB = OA' / OB'
Y puede enunciarse con mayor generalidad así:
Los segmentos determinados sobre dos rectas por secantes paralelas son proporcionales. Para demostrar esta proposición, comencemos por ver que si las rectas m y m' son cortadas por las paralelas a, b, c, d y los segmentos AB y CD son iguales, los segmentos A'B' y C'D' serán también iguales. En efecto, como los triangulitos rayados son iguales, pues trasladando uno sobre el otro coinciden, resultan iguales los segmentos marcados con una raya. Además al segmento AC = AB + BC le corresponde el segmento A'C' = A'B' + B'C'. Habiendo correspondencia entre la igualdad y la suma los segmentos son directamente proporcionales:
AB / BC = A'B' / B'C'

miércoles, 24 de diciembre de 2014

FELIZ NAVIDAD

FELIZ NAVIDAD Y MIS MEJORES DESEOS

MATEMATICA - Segmentos proporcionales y figuras semejantes

METODO DE LA CUADRICULA
Para la construcción de figuras semejantes, reducciones o ampliaciones, se usa frecuentemente el método de la cuadrícula. Para ello se traza un reticulado de cuadrados o rectángulos sobre el dibujo dado y otro reticulado sobre la hoja de dibujo y cuyas divisiones guarden con las de la anterior, la razón dada.

martes, 23 de diciembre de 2014

MATEMATICA - Segmentos proporcionales y figuras semejantes

DEFINICION DE FIGURAS SEMEJANTES
En dos triángulos que tienen los lados paralelos (por ejemplo los de Tales OAA' y OBB') o más en general que tienen:
A = A' B = B' C = C'
Se verifica el teorema de Tales:
AB / A'B' = AC / A'C' = BC / B'C'
Dos triángulos de ángulos iguales y cuyos lados son por tanto proporcionales, se llaman semejantes. Recíprocamente, la proporcionalidad de los lados lleva consigo la igualdad de ángulos, pues si un triángulo tiene, por ejemplo, sus lados dobles de los del ABC, y si construyo el A"B"C" semejante al ABC de tamaño doble, tiene iguales lados que el A'B'C' y por tanto debe ser igual a él. Dos polígonos compuestos de triángulos semejantes en el mismo orden, se llaman semejantes. Si se desea construir un polígono A'B'C'D'E' semejante a uno dado ABCDE bastará trazar por uno de sus vértices, A, por ejemplo, todas las diagonales posibles, y luego por el A' semirrectas paralelas; trazando los segmentos B'C', C'D', ... paralelos a sus homólogos, los triángulos parciales son semejantes y como están igualmente dispuestos, los polígonos son semejantes.
En lugar de la igualdad de ángulos puede usarse la proporcionalidad de segmentos. En la práctica suelen construirse los segmentos proporcionales mediante un compás de reducción.

lunes, 22 de diciembre de 2014

MATEMATICA - Segmentos proporcionales y figuras semejantes

CONSTRUCCIONES GEOMETRICAS
Resolveremos los siguientes problemas mediante la regla y la escuadra:
a) DIVISION DE UN SEGMENTO EN PARTES IGUALES: Sea AB el segmento que deseamos dividir en un cierto número de partes iguales, por ejemplo en cinco partes. Tomando sobre AB' cinco segmentos iguales entre sí, no habrá más que unir el punto G así obtenido con B y trazar las sucesivas paralelas por F, E, D y C. Si se dispone de papel ya rayado la operación se simplifica, porque no habrá más que colocar AB de modo que B se coloque cinco rayas más allá de A. Las intersecciones con las rayas intermedias dan los puntos de división.
b) CUARTO PROPORCIONAL RESPECTO DE TRES SEGMENTOS DADOS: Dados los segmentos a, b, c se llama cuarto proporcional al segmento x que cumple la condición:
a / b = c / x
Primera construcción: Trazando dos semirrectas r y r' tomamos sobre r, sucesivamente los segmentos a y b. Sobre r' se toma c. Trazando como lo indica la figura la paralela a AC desde B, se tiene el segmento x buscado. Segunda construcción: En vez de llevar consecutivamente a y b, pueden tomarse ambos a partir del origen O, tal como lo indica la segunda figura.
c) DIVISION DE UN SEGMENTO EN PARTES PROPORCIONALES A DOS SEGMENTOS DADOS: En las dos figuras se observan construcciones diferentes basadas en el teorema de Tales.
d) DIVISION DE UN SEGMENTO EN DOS PARTES PROPORCIONALES A NUMEROS DADOS: Basta representar estos números por segmentos y el problema se reduce al anterior. Así, por ejemplo, la figura de c) corresponde al problema de dividir a en dos partes proporcionales a 2 y 1.

domingo, 21 de diciembre de 2014

MATEMATICA - Segmentos proporcionales y figuras semejantes

COMPAS DE REDUCCION
Una proporcionalidad importante es la de segmentos de rectas paralelas cortadas por un haz de rayos de vértice exterior O.
AB / BC = A'B' / C'D' = … = OA / OA' = OB / OB' = …
Es éste el fundamento de las linternas de proyección y en especial del cine; una pequeña figura de la película se proyecta sobre la pantalla en gran tamaño pero "conservando la misma proporción". También es el fundamento del compás de reducción.
Si las dos ramas articuladas en O son AA' y BB' y la razón OA' : OA es 1/2 como sucede en la figura, esta misma será la razón A'B' : AB, es decir, cada segmento AB medido con el compás, queda reducido en las puntas opuestas A'B' en esa proporción. Bastará, pues, medir las distancias en una figura con las puntas A y B; las opuestas A' y B' dan los segmentos reducidos. Como el punto O de articulación puede variarse a voluntad, puede hacerse la reducción o ampliación en cualquier escala, dentro de ciertos límites.

sábado, 20 de diciembre de 2014

MATEMATICA – Geometría elemental

GEOMETRIA INTUITIVA Y LOGICA En geometría, como en toda ciencia,conviene comenzar por la observación visual, con lo cual se logra algunas veces descubrir propiedades gráficas. Pero el refrán popular "la vista engaña" no debe ser olvidado. Por ejemplo observemos las dos figuras.
Se podrá comprobar que las dos rectas de la primera figura son paralelas aunque no lo parezcan. Lo mismo ocurre con las siete rectas de la segunda figura. Hay otro tipo de visión meramente intelectual, que se llama intuición (intuere = ver con los ojos de la inteligencia) y muchas de las verdades que expondremos se basarán en esta visión intuitiva; pero también ésta es peligrosa, pues si no va acompañada de un razonamiento lógico, podemos llegar a conclusiones equivocadas. El célebre matemático francés Poincaré dijo: "La geometría es el arte de razonar bien sobre figuras mal dibujadas." El único seguro es el método racional. Se parte para ello de ciertas relaciones geométricas muy sencillas llamadas postulados, que admitimos como verdaderos, por concordar muy aproximadamente con las experiencias y estar de acuerdo con las experiencias ideales o imaginadas; admitidos como verdaderos estos postulados, sólo se consideran ciertas aquellas propiedades que se deducen de los postulados, sin recurrir a experiencias o intuiciones, solamente combinando los postulados, mediante un razonamiento lógico que se llama demostración. Estas relaciones, deducidas lógicamente de los postulados, se llaman teoremas. La edificación completa de la Geometría con método lógico es muy larga y penosa. Aunque los Elementos de Euclides fueron escritos con esta pretensión, ha sido preciso llenar después muchas lagunas y cambiar muchas demostraciones que eran intuitivas, es decir, basadas en la observación de las figuras, a fin de perfeccionar su estructura lógica. En esta breve exposición de lo más esencial, suprimiremos largos razonamientos usuales en los textos, pero no satisfactorios, acentuando así el carácter intuitivo, que si bien ofrece algún riesgo, permite avanzar rápidamente sin esfuerzo; y como ejemplo de método lógico riguroso daremos algún modelo de demostración para que se aprecien ventajas e inconvenientes.

viernes, 19 de diciembre de 2014

ARITMETICA - Los números y la numeración

EL MUNDO DE LOS NUMEROS
En casi todas las manifestaciones de la vida diaria utilizamos números. En la infancia hemos aprendido a hacer operaciones con ellos y nadie puede ejercer actividades en el mundo civilizado sin tener ciertos conocimientos de aritmética, suficientes para moverse sin tropiezos en ese mundo de los números. Y no encierra esta denominación una metáfora, sino una realidad; para los pitagóricos era la "única realidad" y el mundo material era ilusorio: "Las cosas son números". Para Platón el mundo de los números y el de las figuras existen como tantos otros mundos de ideas: la blancura, la pesantez, la bondad... Aunque nadie comulga hoy en estas filosofías, hay filósofos y matemáticos que conceden realidad al mundo de los números, incluso de aquellos números tan enormes que no están representados por conjuntos de cosas materiales; pero la mayoría comulga en la concepción aristotélica: los números son conceptos, esto es, entes mentales creados por nuestra inteligencia, mediante la operación llamada abstracción, para representar colecciones de cosas materiales o ideales, prescindiendo de su naturaleza y de su orden. La palabra o el símbolo 3 representa indistintamente tres niños, tres manzanas, tres mesas... En este carácter abstracto reside la amplísima generalidad de la Aritmética, la más pura de las ciencias. Por ejemplo, cuando se efectúa el producto 3 x 5, el resultado es 15, independientemente de que se trate de la venta de 3 metros de género a 5 pesos el metro, o el cálculo de la superficie de un patio de 3 metros de ancho y 5 metros de largo, o del trayecto recorrido en 3 horas por un andarín a razón de 5 km por hora. Una simple operación aritmética resuelve infinitos problemas. La Aritmética es una ciencia racional y no intuitiva; salvo en los conjuntos que contienen un número pequeño de objetos, no nos podemos guiar por nuestra visión intuitiva, porque sus apreciaciones son inexactas.
Ejemplos: 1) Si se le pregunta a una persona qué altura alcanzaría una columna formada por mil millones de billetes de 1 peso, suponiendo que 10 billetes tienen aproximadamente 1 mm de altura, pocos podrían imaginar que esa columna sería de 100 kilómetros, mucho más elevada que las más altas montañas terrestres colocadas una sobre otra. 2) El cálculo enseña que 13 objetos diferentes pueden disponerse de 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10 x 11 x 12 x 13 maneras distintas sobre 13 lugares prefijados, pero pocos podrían imaginarse fácilmente que 13 personas pueden ocupar 13 asientos preparados alrededor de una mesa de 6.227.020.800 maneras distintas. Y menos fácil aun es concebir que si para ocupar cada una de esas disposiciones diferentes se tardara sólo 1/4 de minuto, esas 13 personas tardarían más de 30 siglos en ocupar todas las disposiciones posibles. Jesucristo y sus apóstoles no habrían tenido tiempo hasta hoy de ensayar todas las distribuciones posibles para la última cena, debiendo proseguir sin cesar hasta el año 3000.
Estos ejemplos simples nos deben servir para no confiar excesivamente en nuestra "intuición" y para convencernos de la necesidad de realizar el estudio lógico de la Aritmética. También debemos cuidarnos de los sofismas, razonamientos aparentemente lógicos y que, sin embargo, pueden encerrar alguna "trampa". Por ejemplo, a un lector desprevenido se le podría "demostrar" que 3 es igual a 4, o en general, que todos los números son iguales. En efecto, por ser ambos miembros iguales a cero, se puede escribir la igualdad:
3 x 0 = 4 x 0
Y dividiendo ambos miembros por un mismo número (en este caso el 0) tendremos el desconcertante resultado:
3 = 4
Lo que indica un error en la demostración.

jueves, 18 de diciembre de 2014

ARITMETICA - Potencias y raíces

EL NUMERO DE EDDINGTON
Muy cortos se quedaron ambos calculistas griegos, pues esa distancia apenas equivale a 3 minutos-luz (menos de la mitad del camino hacia el sol) y hoy se calcula que las "nubes magallánicas" distan unos 100.000 años-luz. Había, pues un error que se traduce en un factor muy superior a 10^10, que en el volumen significa 10^30 y el número de Arquímedes, así modernizado, sería superior a 10^93. Mucho menor es el número dado en nuestros días por el original astrónomo Eddington: "el número de electrones del Universo es 10^79 y hay otros tantos protones". (Posteriormente ha dado este otro número para los electrones de todo el Universo:
15 747 724 136 275 002 577 605 653 961 181 555 468 044 717 914 527 116 709 366 231 425 076 185 631 035 296
Este número, algo más de vez y media el anterior, procede de desarrollar 136 x 2^256.
A pesar de que cada grano de arena tiene numerosísimos corpúsculos elementales, la diferencia estriba en que el siracusano calculaba el Universo repleto de arena, mientras que en su mayor parte está vacío y en el cálculo de Eddington sólo figura la materia real y no la supuesta. - Cuando se pregunta cuál es el mayor número que se puede escribir con tres cifras, la contestación suele ser 999; pero este número es insignificante comparado con 990 que es enormemente superior al de Eddington, es decir, supera al número de corpúsculos materiales de todo el Universo, como el lector puede calcular. A pesar de que este número y otros muchos mayores no representan conjunto ninguno de cosas materiales, existen en la mente que los define, o bien, como sostienen otros filósofos, existen en el mundo objetivo de los números, independientemente de las mentes humanas.

miércoles, 17 de diciembre de 2014

MATEMATICA - Las cónicas

TANGENTES A LAS CONICAS
Se observa en las figuras que la tangente en cada punto P está determinada así:
En la elipse es bisectriz exterior de los radios vectores de P.
En la hipérbola es bisectriz interior de esos radios.
En la parábola es bisectriz exterior del radio vector y la distancia a la directriz.
El caso de la parábola es el más interesante: la igualdad de ángulos a = ß indica que un rayo de luz paralelo al eje se reflejará según el radio vector hacia el foco. Concentrados en él todos los rayos caloríficos se producirá una elevadísima temperatura capaz de incendiar fósforo u otros combustibles.
Inversamente una luz puesta en F producirá un haz de rayos luminosos paralelos. Tal es el fundamento de los faros de automóviles, reflectores, etc., y éste es el origen de la palabra foco.

martes, 16 de diciembre de 2014

ARITMETICA - Potencias y raíces

CALCULO DE RAICES Si escribimos la igualdad 5³ = 125 expresamos que el número que elevado al cubo da 125, es el 5, o en otros términos que la raíz cúbica de 125 es 5. En símbolos, se escribe:
v 175 = 5
Y en general:
?v a = b significa: b? = a
El signo v se llama radical; el número a radicando y el n se llama índice.
Si el número no es cuadrado o cubo de otro, no se podrá hallar su raíz cuadrada o cúbica exacta, pero análogamente a lo hecho para la división entera se puede definir la raíz entera: Se llama raíz (cuadrada, cúbica, etc.) entera por defecto de un número al mayor número posible cuya potencia del mismo orden (cuadrado, cubo, etc.) está contenida en el número dado. Así, por ejemplo, raíz cuadrada por defecto de 152 es 12, puesto que 12² = 144 es menor que 152, y en cambio 13² = 169 es mayor que 152. La diferencia 152 -- 12² se llama resto de la raíz. La importancia de la raíz cuadrada se verá en la parte de Geometría; las raíces superiores tienen ínfimo interés práctico y actualmente se utilizan los logaritmos para su cálculo. Recargar la mente con la tremenda regla para extraer la raíz cúbica, como se hacía antes en el bachillerato, nos parece hoy anacrónica e inútil crueldad; pero la extracción de la raíz cuadrada, que es más sencilla, merece ser expuesta, aunque el lector puede pasarla por alto.

lunes, 15 de diciembre de 2014

ARITMETICA - Potencias y raíces

CALCULO DE POTENCIAS
Facilita mucho el cálculo con potencias el conocimiento de algunas reglas sencillas:
a) Al multiplicar 2³ . 2² se observa sin más que recordar las definiciones de producto y potencia:
2³ . 2² = (2 . 2 . 2) . (2 . 2) = (2 . 2 . 2 . 2 . 2) = 2 ³+² = 2 (5)
En general se verifica:
a? . a? = a ?+?
O sea: El producto de potencias de la misma base es igual a otra potencia de igual base, y exponente igual a la suma de los exponentes. Análogamente: El cociente de potencias de la misma base es otra potencia de igual base y exponente igual a la diferencia de los exponentes. Esto es:
a? : a? = a ?-?
b) Multipliquemos ahora potencias de base distinta y del mismo exponente, por ejemplo 2³ . 5³. Por la definición será:
2³ . 5³ = (2 . 2 . 2) . (5 . 5 . 5) =  (2 . 5) (2 . 5) (2 . 5) = (2 . 5)³
Y en general:
a? . b? = (a . b) ?
El producto de varias potencias del mismo exponente es igual a una potencia única del mismo exponente y base igual al producto de las bases. O también, leyendo la igualdad al revés, se tiene la propiedad distributiva de la potenciación con respecto al producto: Para elevar un producto a un exponente puede procederse elevando cada uno de los factores a dicho exponente.
c) Si multiplicamos potencias de la misma base y el mismo exponente, tendremos una potencia de potencia; así 4(5) . 4(5) . 4(5) = (4(5)) ³ y el primer miembro, en virtud de la regla I, es igual a 4(5+5+5) = 4(15). Esto es:
(4(5)) ³ = 4(15)
En general:
(a?)? = a?.?
Para elevar una potencia a un exponente se eleva la base primera al producto de los exponentes.

domingo, 14 de diciembre de 2014

MATEMATICA - Las cónicas

SECCIONES PLANAS DE UN CONO
Cuando los geómetras de Alejandría dedicaron sus esfuerzos al estudio de las curiosas curvas que se obtienen como secciones de un cono, llevados de su afán especulativo, totalmente desinteresado, estaban muy lejos de sospechar que ese estudio daría la clave a Keppler, dos mil años después, para descubrir sus famosas leyes planetarias, que condujeron a Newton a su grandiosa explicación mecánica del universo. Llamó Apolonio secciones cónicas (o brevemente cónicas) a las curvas obtenidas cortando un cono de revolución por un plano secante que no pasa por su vértice. Si el plano es perpendicular al eje, resulta un paralelo de la superficie, que es circular, como acontece con cualquier otra de revolución; pero si es oblicua, caben tres casos que conducen a nuevas curvas. Si el plano corta a todas las generatrices, se llama elipse.
Si el plano es paralelo a una sola generatriz, la sección se llama parábola.
Si el plano es paralelo a dos generatrices, la curva se llama hipérbola y se compone de dos ramas separadas.
Sin necesidad de cortar un cono material, tarea no fácil, puede el lector producir las tres curvas proyectadas sobre la pared de su habitación con la sombra de un círculo de cartón o un plato.

viernes, 12 de diciembre de 2014

MATEMATICA - Areas y volúmenes

NOCION DE VOLUMEN
Si la leche contenida en un tarro llena una tinaja u otro cualquiera de los cuerpos, decimos que todos esos cuerpos son equivalentes o que tienen el mismo volumen.
AREAS Y VOLÚMENES DE LOS POLIEDROS REGULARES
Tal como ocurre con las áreas de las figuras planas, debemos dar criterios para determinar los volúmenes de los cuerpos conociendo alguno de sus elementos. Supongamos que se trate de medir el volumen de un prisma recto de base rectangular (ortoedro) cuyos lados miden 5 cm, 6 cm y 3 cm.
Es evidente que el cuerpo contiene 5 x 6 x 3= 90 cubitos de 1 cm de arista, y el volumen será 90 cm³. En general diremos: El volumen de un ortoedro es igual al producto de las tres aristas medidas con la misma unidad, o también al producto del área de la base por la altura. En particular el volumen del cubo es igual al cubo de la medida de la arista.

jueves, 11 de diciembre de 2014

MATEMATICA – Polígonos

CONSTRUCCION DE POLIGONOS REGULARES
En general para construir un polígono regular habrá que dividir una circunferencia en tantas partes iguales como número de vértices tiene el polígono. Si se trata de hacer una división aproximada siempre se puede lograr, pero si se exige realizar exactamente la operación con los instrumentos clásicos: regla y compás, entonces el problema es imposible en general, pues sólo hay algunos casos en que es factible la construcción.
Los polígonos regulares que se presentan con más frecuencia se construyen fácilmente. Así, para construir un triángulo equilátero inscrito, basta transportar el radio sobre la circunferencia y unir alternadamente los puntos de división; la unión consecutiva de esos puntos por segmento da el hexágono regular. Uniendo los puntos determinados por dos diámetros perpendiculares se obtiene un cuadrado.
Interesante es la construcción de Ptolomeo del pentágono regular y del decágono regular: Desde el punto medio E del radio OB se traza un arco que lleva el punto C al D; el segmento OD es el lado del decágono regular y el CD es el del pentágono. Este segmento OD se llama también sección áurea (o dorada) del segmento OA y se la utiliza fecundamente en numerosos problemas artísticos.
¿Qué polígonos se pueden construir con regla y compás? Este antiguo enigma fue descifrado por el matemático alemán Gauss (1777-1855), llamado con justicia Princeps mathematicorum. No es posible construir el heptágono (7 lados), el eneágono (9 lados) ni tampoco los de 11 lados o 13 lados, y sin embargo, ¡cosa sorprendente!, es posible y no difícil la construcción del heptadecágono (17 lados). Fue éste un sensacional descubrimiento del joven Gauss, que contaba entonces precisamente ese mismo número de años. Y no se limitó a esta genial solución, sino que agotó el tema demostrando que los únicos números primos que permiten solución son los del tipo 2 ²? + 1. Para n = 1 resulta 5 (ya conocido de los griegos) y para n = 2 sale 17; para n = 3 el polígono construible y ya construido tiene 257 lados; y un pacienzudo doctor alemán ha construido también el polígono siguiente, que tiene 65 537 lados.

miércoles, 10 de diciembre de 2014

MATEMATICA - Areas y volúmenes

NOCION DE AREA
Mientras con varios segmentos que se suman siempre se obtiene el mismo segmento suma, con varios polígonos que se suman se obtienen figuras que pueden ser completamente diferentes. Sin embargo, estas figuras tienen algo común: para pintarlas habría que destinar la misma cantidad de pintura, y si se recortan de una chapa uniforme tienen igual peso.
Diremos que las dos figuras son equivalentes o que tienen la misma extensión superficial. Si comparamos esta superficie con la superficie de un cuadrado cuyo lado mide la unidad de longitud, obtenemos un número que se llama área de la figura.

martes, 9 de diciembre de 2014

MATEMATICA – Geometría elemental

ESTUDIO DE LOS ANGULOS. RECTAS PERPENDICULARES
Si trazamos dos rectas que se cortan en O se formarán cuatro ángulos. Los ángulos 1 y 3 se llaman opuestos por el vértice, y análogamente 2 y 4. Los ángulos 1 y 2 sumados forman un ángulo llano; a los ángulos 1 y 2 se los llama ángulos suplementarios. También son suplementarios 2 y 3; 3 y 4, etc. Como el 1 y el 2 forman un llano y el 3 y el 2 también, deberá ser el 1 igual al 3: los ángulos opuestos por el vértice son iguales.
Si los cuatro ángulos 1, 2, 3, 4 son iguales se dice que las rectas son perpendiculares entre sí, y que cada uno de esos ángulos es un ángulo recto. Dos ángulos que sumados forman un ángulo recto se llaman ángulos complementarios.
Si en el ángulo ABC trazamos la semirrecta BP tal que los ángulos ABP y CBP son iguales, se dice que la semirrecta BP es la bisectriz del ángulo. La bisectriz BP se construye fácilmente trazando con un compás un arco cualquiera AC y trazando dos arquitos de igual radio AP y CP.
Los ángulos que como el 1 son menores que un recto, se llaman ángulos agudos, y aquellos como el 2 que son mayores que un recto se llaman ángulos obtusos.

lunes, 8 de diciembre de 2014

MATEMATICA – Rectas y planos

PLANOS Y RECTAS EN EL ESPACIO
Las patas de un trípode siempre se  pueden apoyar sobre un plano; en cambio puede ocurrir que las cuatro patas de una mesa "bailen" y no se puedan apoyar sobre el piso. ¿Por qué? Porque tres puntos (no alineados) están siempre sobre un plano, o en otros términos, tres puntos no alineados determinan un solo plano. Dos puntos no son suficientes: piénsese que si una puerta está unida al marco por dos puntos, puede girar alrededor del eje determinado por esos dos puntos. Si se sujeta con un tercer punto fuera del eje mediante un pestillo, la puerta queda inmóvil. Es importante la restricción de que los puntos no estén alineados. Todas las charnelas que se coloquen alineadamente en una puerta no le impiden girar; hace falta un punto fuera de esa recta para fijarla. Cada una de las posiciones que toma la puerta al girar corresponde a un plano distinto, y por consiguiente podremos decir:
Por una recta pasan infinitos planos. Una recta y un punto exterior determinan un plano.
Los albañiles para construir un embaldosado colocan en dos bordes del patio sendas reglas fijas y luego controlan la exactitud de la construcción haciendo deslizar una regla móvil sobre las dos reglas fijas, puesto que: Dos rectas que se cortan determinan un solo plano.
Si las rectas son paralelas, por definición deben ser coplanares, es decir, estar en el mismo plano. En consecuencia podremos decir:
Dos rectas que se cortan o son paralelas determinan un único plano.
Pero no siempre en el espacio dos rectas o se cortan o son paralelas como ocurría en geometría plana; puede ocurrir que dos rectas ni se corten ni sean paralelas, sino que se crucen y se denominan rectas alabeadas.
Pero tratándose de planos sólo caben dos posibilidades: o son paralelos (no tienen ningún punto común) o se cortan (y tienen una recta común).
Si una recta tiene dos de sus puntos en un plano, está íntegramente contenida en el plano (recta del plano), pero puede tener un solo punto en común con el plano (recta incidente) o ninguno (recta paralela al plano).
Si en una habitación común observamos una de sus aristas laterales en relación con el piso, comprobaremos que trazada cualquier recta en el piso resulta perpendicular a la arista; se dice entonces que la recta de la arista y el plano del piso son perpendiculares. En general se llama plano perpendicular a una recta en uno de sus puntos al plano formado por todas las perpendiculares a la recta en ese punto. Se demuestra que es suficiente con que la recta sea perpendicular sólo a dos de las rectas del plano, para que sea perpendicular a todas. Si desde un punto M trazamos la perpendicular a un plano a y P es el punto de intersección, el segmento MP se llama distancia del punto al plano. También se dice que P es la proyección ortogonal de M sobre a.

domingo, 7 de diciembre de 2014

MATEMATICA - El sistema métrico decimal

UNIDADES DE VOLUMEN
La unidad es el metro cúbico o volumen de un cubo de un metro de arista. Los múltiplos son el decámetro cúbico, dam³, el hectómetro cúbico, hm³, y el kilómetro cúbico, km³. Los submúltiplos son: el decímetrocúbico, dm³; el centímetro cúbico, cm³, y el milímetro cúbico, mm³, o cubos de arista 1 dm, 1 cm y 1 mm, respectivamente. Del mismo modo podernos establecer que:
1 m³ = 1.000 dm³ = 1.000.000 cm³ = 1.000.000.000 mm³ 1 dm³ = 1.000 cm³ = 1.000.000 mm³ 1 cm³ = 1.000 mm³
Cada unidad de volumen es, pues, 1000 veces mayor que la inmediata inferior, pero los grandes volúmenes se suelen expresar en metros cúbicos y no en dam³, hm³, etc.
OBSERVACION GENERAL SOBRE EL CALCULO DE AREAS Y VOLUMENES: Como la comparación directa con las unidades es prácticamente imposible, ha sido necesario idear métodos que permiten calcular las áreas y volúmenes de las figuras más usuales mediante algunas mediciones de longitudes que las caracterizan. Así nació la Geometría (geo, tierra y metron, medida).

sábado, 6 de diciembre de 2014

MATEMATICA - El sistema métrico decimal

UNIDADES DE PESO
La unidad es el gramo, que en un principio se relacionó con el metro para darle carácter internacional, diciendo que es el peso, en el vacío, de un centímetro cúbico de agua destilada a 4° centígrados. Esta definición, que exige algunas explicaciones que no son de este lugar, se ha abandonado modernamente por razones análogas a las expuestas a propósito de la definición de metro. Resultando pequeña la unidad fundamental, se construyó un patrón mil veces más pesado, llamado kilogramo, o abreviadamente kilo, y de él se sacaron copias para los diversos países. Definiremos, pues, el kilogramo diciendo que es el peso de un modelo que se conserva en la Oficina Internacional de París y aproximadamente igual al peso de un decímetro cúbico de agua destilada. Los múltiplos del gramo son, además del kilogramo (kg), que equivale a 1.000 g, el decagramo (dag), el hectogramo (hg), y el miriagramo (Mg), apenas usados; el quintal métrico (q) = 100 kg y la tonelada métrica (t) = 1.000 kg. Los submúltiplos son el decigramo (dg), el centigramo (cg), y el miligramo (mg).
1 g = 10 dg = 100 cg = 1.000 mg
Conviene recordar estas equivalencias que fácilmente resultan de las definiciones establecidas:
1 m³ de agua pesa, aproximadamente, 1 tonelada I dm³ de agua pesa, aproximadamente, 1 kilo 1 cm³ de agua pesa, aproximadamente, 1 gramo 1 mm³ de agua pesa, aproximadamente, 1 miligramo

viernes, 5 de diciembre de 2014

MATEMATICA - El sistema métrico decimal

UNIDADES DE LONGITUD
Los múltiplos del metro son: el decámetro, dam; el hectómetro, hm; el kilómetro, km. El miriámetro, Mm, no se usa.
1 dam = 10 m 1 hm = 10 dam = 100 m 1 km = 10 hm = 100 dam = 1.000 m
Los submúltiplos son: el decímetro, dm; el centímetro, cm, y el milímetro, mm.
1 m = 10 dm = 100 cm = 1.000 mm 1 dm = 10 cm = 100 mm 1 cm = 10 mm
De todas estas unidades, la práctica ha hecho corrientes, entre los múltiplos, el km, y entre los submúltiplos el cm y el mm. Las demás se usan rara vez. En cambio, el progreso de la Física y la Astronomía ha impuesto la necesidad de nuevas unidades para longitudes muy pequeñas o muy grandes (micra, ángstrom, año-luz).
Los patrones usuales en la industria y comercio son: los metros y dobles metros de madera y metálicos, rígidos y plegables, y también de cinta; los decámetros y dobles decámetros de cinta y en forma de cadena (para los agrimensores) , y, por último, los dobles y triples decímetros de madera, hueso o celuloide, para dibujantes.

INGENIERIA ELECTRICA - Mediciones y aparatos de medición

GALVANOMETROS DE BOBINA FIJA Para emplear este instrumento debe colocarse previamente en posición quetal, cuando no circula corriente, la bobina esté en la dirección de la aguja de la brújula, es decir, en la dirección norte-sur del campo magnético terrestre y, por lo tanto, el eje de la bobina en ángulo recto con respecto a la aguja, imanada.
Medidor de bobina fija, en el cual se emplea el principio de funcionamiento del galvanómetro de bobina fija.
Luego, cuando circula una corriente eléctrica a través de la bobina, hace girar la aguja imanada en un ángulo cuya magnitud depende de la intensidad de la corriente. Sí la corriente circula en un sentido, la aguja se desviará hacia un lado determinado, y si se invierte el sentido de la corriente, la aguja se desviará al lado contrario. Las razones de este efecto han sido estudiadas en el capítulo sobre electromagnetismo. Debido al cuidado que debe tenerse al colocar el instrumento antes de realizar una medición, es muy incómodo su empleo y en la práctica no se utiliza, excepto en los laboratorios. Tampoco puede emplearse en las cercanías de masas de hierro o acero, u otros conductores por los cuales circule corriente, puesto que todos estos elementos afectan la desviación de la aguja imanada. Para usos comerciarles, se mejora el instrumento reemplazando el campo magnético de la tierra por un imán permanente suficientemente potente en forma de herradura, y colocando una barra magnetizada, llamada hierro móvil, en lugar de la aguja imanada. En el extremo de la barra se fija una aguja que se mueve sobre una escala graduada. Los galvanómetros de este último tipo se llaman de hierro móvil, y debido al campo de intensidad relativamente elevada creado por su propio imán permanente, pueden emplearse en cualquier posición sin tener en cuenta el campo magnético terrestre; además, es casi insensible a la proximidad de masas de hierro o acero o de otros conductores con corriente eléctrica.

jueves, 4 de diciembre de 2014

MATEMATICA - El sistema métrico decimal

UNIDADES DE CAPACIDAD
Para medir los volúmenes interiores de recipientes destinados a contener líquidos (depósitos, cubas, barriles) puede efectuarse la medición vaciando sucesivamente en el recipiente el contenido de otro de volumen unidad, o al revés, y contando las veces que sea necesario repetir la operación. Así se mide en el comercio al vender los líquidos corrientes, como vinos, alcoholes, aceites, leche, etc., y también los llamados áridos (granos). El volumen medido recibe en estos casos el nombre especial de capacidad. La unidad usual de capacidad es el litro, que se define como volumen de 1 kg de agua, y, por tanto, es muy aproximadamente igual al dm³. Los múltiplos usuales son el decalitro (dal), hectolitro (hl), y los submúltiplos el decilitro (dl), centilitro (cl):
1 dal = 10 l 1 hl = 100 l 1 l = 10 dl 1 l = 100 cl

INGENIERIA ELECTRICA - Mediciones y aparatos de medición

EL GALVANOMETRO En nuestros primeros estudios sobre magnetismo hemos visto que el pasaje de una corriente eléctrica a través de un conductor, produce alrededor del mismo un campo magnético que causa la inclinación de la aguja de una brújula colocada en las cercanías del mismo; luego hemos visto que una bobina de alambre, por la cual circule una corriente, produce un campo magnético mucho más intenso que un solo conductor, y que ese campo tiene un efecto más pronunciado sobre la aguja imanada colocada en la proximidad de la bobina. Este fenómeno es la base de los galvanómetros, los cuales son el tipo más simple de los instrumentos eléctricos, de medición y sirven para indicar la presencia, intensidad y dirección de una corriente eléctrica. Como el mismo principio del galvanómetro se utiliza en otros instrumentos, veremos brevemente sus características de funcionamiento. Existen dos tipos fundamentales de galvanómetros: galvanómetros de bobina fija y galvanómetros de bobina móvil o llamados también de D'Arsonval.

miércoles, 3 de diciembre de 2014

INGENIERIA ELECTRICA - Mediciones y aparatos de medición

MEDICIONES CON VOLTIMETRO Y AMPERIMETRO Tomemos el caso simple de una batería y una resistencia desconocida, como se muestra en la figura y veamos cómo se responde a las siguientes preguntas; ¿qué valor tiene la resistencia?, ¿cuál es la tensión y qué intensidad de corriente circula?, ¿qué sucede cuando cambio la resistencia? Estas y otras preguntas pueden ser respondidas sí empleamos los instrumentos eléctricos de medición conectados al circuito en la forma indicada en la figura, aplicando, además, la ya conocida ley de Ohm. El amperímetro medirá y nos indicará la intensidad de la corriente que circula por el circuito, y el voltímetro la tensión o fuerza electromotriz que hace circular la corriente a través de la resistencia.
Manera correcta de conectar el amperímetro y el voltímetro en un circuito, para medir la potencia consumida por una resistencia.
Para concretar, supongamos que en el voltímetro leemos 2, lo cual nos dice que la diferencia de potencial o tensión entre los extremos de la resistencia es dos volts, y que en el amperímetro leemos 1, lo cual significa que a través de la resistencia circula una corriente de un ampere; ahora, recordemos que la ley de Ohm dice: R = E/I en la cual R es la resistencia, E la tensión a través de la parte del circuito que estamos midiendo, e I la intensidad de la corriente. Reemplazando I y E por los valores medidos, tenemos: R = 2 ohms. Podemos también calcular la potencia que está circulando, para lo cual empleamos cualquiera de las siguientes fórmulas: P = E x I, o P = R x I2, o P =  E2/R, todas nos dan el mismo resultado, igual a 2 watts, que es la energía eléctrica disipada por la resistencia en forma de calor. En la misma forma pueden estudiarse circuitos mucho más complicados gracias al empleo de los instrumentos eléctricos de medición. En este ejemplo típico, pero muy simple de la determinación de la potencia, hemos supuesto que circulaba corriente continua, donde la potencia en watts es exactamente igual al producto de la tensión en volts por la intensidad de la corriente en amperes. En los circuitos con corriente alterna, se obtendría el mismo resultado si el circuito estuviera compuesto exclusivamente de resistencias puras, sin capacitancia ni inductancia, puesto que si existe una cantidad relativamente apreciable de estas magnitudes, debe modificarse convenientemente el resultado, puesto que la potencia ya no resulta igual al producto de la tensión por la intensidad, y deben emplearse otros instrumentos, apropiados para poder medir la potencia.

MATEMATICA - El sistema métrico decimal

UNIDADES DE AREA
La unidad es el metro cuadrado, o área de un cuadrado que tiene por lado un metro. Los múltiplos son: el decámetro cuadrado, dam²; el hectómetro cuadrado, hm², y el kilómetro cuadrado, km². Son las áreas de los cuadrados que tienen por lados el dam, hm y km, respectivamente. Así, un dam² será un cuadrado de 10 m de lado y que tendrá, por tanto, 10 x 10 = 100 m². Un hm² tendrá análogamente 100 dm² = 100 m² x 100 m² = 10.000 m², etc.
1 dam² = 100 m² 1 hm² = 100 dam² = 10.000 m² 1 km² = 100 hm² = 10.000 dam²
Los nombres área = dam²; hectárea = hm², son los usados en la medida de campos. El m² se llama centiárea. Los submúltiplos son el decímetro cuadrado, dm²; el centímetro cuadrado, cm² y el milímetro cuadrado, mm², que se definen como los múltiplos, resultando análogamente las relaciones:
1 m² = 100 dm² 1 dm² = 100 cm² 1 cm² = 100 mm²
Cada unidad de área es, pues, cien veces mayor que la unidad inmediata inferior.

martes, 2 de diciembre de 2014

MATEMATICA - El sistema métrico decimal

MATEMATICA - El sistema métrico decimal
UNIDADES ANTIGUAS Y SUS EQUIVALENCIAS
He aquí la nómina y equivalencia de algunas medidas antiguas, advirtiendo que no en todos los lugares estos términos tienen la misma significación:
LONGITUD Legua = 5.196 m Cuadra = 129,90 m Vara = 0,866 m Pie = 0,288 m Pulgada = 0,024 m Línea = 0,002 m
SUPERFICIE Legua cuadrada = 2.699 hm² = 84 dam² = 16 m² cuadra cuadrada = 1 hm² = 68 dam² = 74,01 m² vara cuadrada = 0,749956 m² (prácticamente 3/4 m²) pie cuadrado = 0,08332844 m² pulgada cuadrada = 0,00057867 m² = 5,7867 cm²
VOLUMEN pie cúbico = 0,024054144 m³ pulgada cúbica = 13,920 cm³

INGENIERIA ELECTRICA - Mediciones y aparatos de medición

CANTIDADES ELECTRICAS Como la corriente eléctrica es intangible y no puede ser valorada o medida por unidades comunes como el kilogramo, el metro o el litro, las cantidades eléctricas han sido medidas por los efectos que producen. Veamos algunas de las definiciones de las cantidades ya consideradas: EL AMPERE. — En los comienzos de los estudios de electricidad fue descubierto que el pasaje de una corriente eléctrica a través de la mayoría de las soluciones químicas produce cargas químicas; posteriormente se vio que la misma cantidad de corriente eléctrica, circulando a través de la misma clase de solución química y bajo las mismas condiciones, siempre produce el mismo grado de cambio en la solución química; estos cambios pueden medirse con precisión. Así surgió el primer método ideado para medir la cantidad de corriente eléctrica, empleando una solución de plata, en la cual se sumergían dos placas o electrodos del mismo metal. Cuando se hacía pasar una corriente eléctrica (corriente continua) a través de ese dispositivo, se observaba que la corriente hacía disolver una parte del metal de una placa en la solución, la transmitía a través de la misma y la depositaba en la otra placa. De aquí nació la definición de ampere. Por acuerdo internacional, el ampere se define como la cantidad de electricidad que al pasar a través de una solución especificada de nitrato de plata, deposita plata sobre una de las placas, a razón de 0,001118 gramos por segundo. EL COULOMB. - La medición cuantitativa de muchas cantidades requiere la indicación del tiempo, así, por ejemplo, decir que una cañería o un robinete entrega 50 litros de agua es una información incompleta, debemos decir también en cuánto tiempo se entrega esa cantidad de agua, o sea, por ejemplo, 50 litros por minuto o 20 litros por hora. Igualmente, en las mediciones eléctricas debemos introducir una unidad de tiempo. El coulomb es la unidad científica básica, de las mediciones eléctricas, que comprende al tiempo. Nuevamente por medio de un acuerdo internacional, el coulomb se definió como la cantidad de energía eléctrica transportada por una corriente de un ampere en un segundo; también se lo llama algunas veces ampere-segundo. En el comercio se emplea muy corrientemente otra unidad práctica, el ampere-hora, que equivale a 3 600 amperes-segundo, o sea 3 600 coulombs. Las baterías de acumuladores se miden generalmente en ampere-horas de capacidad de energía eléctrica. EL OHM. - Es la unidad de medida de la resistencia eléctrica. Por acuerdo internacional se definió al ohm como la resistencia ofrecida a una corriente eléctrica constante, por una columna de mercurio a la temperatura del hielo fundente, que pese 14,4526 gramos, y que tenga una longitud de 106,3 centímetros, y con una sección constante en toda su longitud. EL VOLT. - Para que circule una corriente eléctrica entre dos puntos de un circuito eléctrico, es necesario que entre los mismos exista una diferencia de potencial. En electrotecnia la diferencia de potencial entre dos puntos de un circuito se llama también tensión, voltaje o fuerza electromotriz entre los dos puntos. Por acuerdo internacional se definió al volt como la fuerza electromotriz o tensión que hace circular una corriente de un ampere a través de un conductor cuya resistencia sea de un ohm. EL JOULE. - Es la unidad fundamental empleada para medir el trabajo realizado por el pasaje de una corriente. Por acuerdo internacional se definió al joule como la energía disipada en un segundo por una corriente de un ampere que circula a través de un circuito que tiene la resistencia de un ohm. EL WATT. — Es la unidad de potencia eléctrica, y tomando como base las unidades definidas en los párrafos anteriores, el watt es igual a un joule por segundo; en términos prácticos, es igual a 1/736 HP. También el watt es la potencia existente en un circuito eléctrico, en el que circula una corriente de un ampere, y entre cuyos extremos existe una diferencia de potencial de un volt.

lunes, 1 de diciembre de 2014

MATEMATICA - El sistema métrico decimal

ORIGEN DEL SISTEMA METRICO DECIMAL
Primitivamente los hombres empleaban para medir magnitudes, elementos o módulos relacionados con su propio cuerpo o con sus sentidos. Para longitudes pequeñas, tomaban como unidades de medida la longitud del pie, la de la falange del dedo pulgar, la máxima abertura de la mano, la longitud del brazo, etc., las cuales, con pequeñas variaciones, conocemos actualmente con los nombres de pie, pulgada, codo, cuarta, yarda, etc. En la Biblia figuran expresiones como ésta: "La casa que el rey Salomón edificó a Jehová, tuvo sesenta codos de largo y veinte de ancho, y treinta codos de alto" (Libro 19 de los Reyes, cap. VI) . La necesidad fundamental de poder reproducir las unidades de medida en cualquier momento, independientemente de las diversas características que pueden presentar el pie o la mano de las personas, indujo a definirlas, pero aun ello se hacía en forma harto imprecisa como puede verse en el Estatuto inglés: La pulgada es la longitud de tres granos de cebada tomados de la mitad de la espiga. Como es fácil imaginar, la variedad de medidas usadas aun dentro de un mismo territorio, y con el mismo nombre, dificultaba enormemente el intercambio mercantil, expuesto así a toda clase de engaños, por la deficiencia e ignorancia de sus equivalencias. En Francia había unas 200 unidades diferentes de medida impuestas en la Edad Media por los señores feudales en sus respectivos territorios. Producida la Revolución francesa en 1789, se presentó a la Asamblea Constituyente un amplio proyecto de unificación de pesas y medidas, cuya realización práctica estuvo a cargo de una comisión de sabios nombrada por la Academia de Ciencias de París, quienes resolvieron tomar como base las tres ideas fundamentales siguientes:
1) Adoptar una unidad de longitud de carácter internacional, tomada del globo terrestre, de modo que en cualquier tiempo se pudiera reconstruir. 2) Derivar las diversas unidades de área, volumen, peso, de esa unidad de longitud llamada metro. 3) Formar los múltiplos y submúltiplos de cada unidad según el principio de la numeración decimal. Para cumplir la primera condición se refirió la unidad de longitud a una dimensión terrestre. Se adoptó al efecto el cuadrante de meridiano que pasa por París. Para calcular su longitud basta medir un arco de dicho meridiano, y se eligió el trayecto de Dunkerque a Barcelona, que más tarde se prolongó hasta Africa.
Efectuadas las costosas operaciones de medida, se construyó una barra de platino cuya longitud era la diezmillonésima parte de dicho cuadrante, y de estepatrón internacional, que se llamó metro, se hicieron varias copias para los diversos países que adoptaron el sistema.
Posteriores mediciones han demostrado que las primeras no fueron muy exactas, de modo que, para sostener la definición de metro como parte alícuota del cuadrante habría debido modificarse el patrón, así como todas sus copias, añadiéndoles unas dos décimas de milímetro; pero como aun así no desaparecía el riesgo de que, con el continuo perfeccionamiento de los aparatos de medida se hubieran de corregir todavía en lo sucesivo los patrones, se prefirió dejar fijo el metro y definirlo simplemente así:
El metro es la longitud, a la temperatura de cero grados centígrados, del patrón que se conserva en la Oficina Internacional de París.

INGENIERIA ELECTRICA - Mediciones y aparatos de medición

AMPERIMETRO DE CORRIENTE CONTINUA Aunque el galvanómetro en su forma básica indica únicamente la presencia y dirección de una corriente eléctrica, ya hemos visto cómo puede adaptarse su principio a otros instrumentos para mediciones eléctricas. Para la medición de tensiones y corrientes continuas (que se distinguen de las tensiones y corrientes alternas) se emplean generalmente voltímetros y amperímetros de bobina móvil. Los instrumentos para corriente continua consisten en tres partes esenciales: 1) un imán permanente en forma de herradura, 2) un elemento móvil, consistente en una bobina arrollada alrededor de un núcleo y soportada por un eje entre los polos del imán, 3) un resorte elástico en espiral, para Llevar la aguja a cero cuando no circula corriente y para suministrar una fuerza resistente de valor constante que permite calibrar la cupla electromagnética producida en la bobina al paso de una corriente, en forma tal que exprese amperes, o volts, según el caso.
Esquema de un aparato de medición de bobina móvil. Este tipo de aparato de medición es el más empleado en los voltímetros amperímetros de corriente continua.
Los instrumentos de medición de bobina móvil son los tipos más caros entre los aparato de medición para corriente continua; otros tipos más baratos emplean el principio del hierro móvil. En la mayor parte de los instrumentos comerciales, cualquiera sea su tipo, salvo los proyectados especialmente para fines determinados, como los amperímetrospara indicar la carga o descarga empleados en los automóviles, llevan siempre el cero en el extremo izquierdo de la escala. Esta disposición permite a la aguja moverse en una sola dirección, y por lo tanto, hace que sea muy importante asegurarse que el instrumento está conectado correctamente dentro del circuito, de acuerdo con la polaridad marcada en los terminales del instrumento. La parte móvil de los amperímetros debe ser muy liviana para que responda con rapidez y en forma precisa a las pequeñas variaciones de corriente; por esta razón se emplea para la bobina un alambre muy delgado, y se construye para que circulen por la misma corrientes inferiores a 0,05 amperes. Para poder medir corrientes intensas, de muchos amperes, se le agrega un conductor de baja resistencia en paralelo con la bobina, que se llama generalmente shunt, y la resistencia de la bobina y del conductor se calculan para que al circular la corriente máxima por el instrumento, por la bobina pase solamente la pequeña corriente máxima admisible. Los límites entre los cuales pueden hacerse mediciones se varían cambiando el conductor en paralelo, lo que permite emplear el instrumento en distintos casos. Cuando se mide intensidad de corriente con un amperímetro, debe tenerse siempre mucho cuidado de conectar el instrumento en serie con el resto del circuito. En la mayor parte de los casos, si el amperímetro se llega a conectar en paralelo con el circuito que se va a medir, circulará por él una corriente intensa que lo dañará muy rápidamente.