sábado, 28 de febrero de 2015

MATEMATICA - Geometría descriptiva elemental

SISTEMA DE PLANOS ACOTADOS
Para la representación de terrenos es evidente que el sistema diédrico no resulta práctico, dado que una de las dimensiones (la altura) es insignificante respecto de las otras y que no presentan puntos notables, como lo son los vértices de los poliedros. En este caso se representa solamente la proyección horizontal y se marcan las cotas o números que indican la altura de los puntos sobre un plano horizontal de referencia, en los puntos más importantes.
Estas cotas aisladas no dan idea clara del relieve; por ello se emplean las llamadas curvas de nivel, que son las obtenidas uniendo, en el plano, los puntos de igual cota: son, en realidad, las proyecciones sobre el plano del dibujo de las intersecciones con el terreno de planos horizontales trazados a distintas alturas. Para mayor claridad se toman estos planos equidistantes y la distancia entre cada dos, es decir, la diferencia de cotas entre dos curvas de nivel consecutivas se elige, en cada caso, según los desniveles que presente el terreno y según la escala del plano: pueden trazarse cada metro, cada cinco metros, etc. En la figura están dibujadas las curvas de nivel y los planos horizontales que las originan, trazados cada 5 metros.

viernes, 27 de febrero de 2015

MATEMATICA - Geometría descriptiva elemental

REPRESENTACION DE UNA RECTA
Para obtener las proyecciones de una recta, basta determinar las de dos cualesquiera de sus puntos: si tenemos un segmento, basta determinar las proyecciones de sus extremos. En la figura se indican las proyecciones de una recta AB'. Sus intersecciones con los planos de proyección, es decir, sus trazas sobre dichos planos, se determinan de manera sencilla.
La traza horizontal, por ejemplo, no es más que aquel punto de la recta cuya proyección vertical está en la línea de tierra, es decir, el punto A. En forma análoga se determina la traza vertical, que es aquel punto cuya proyección horizontal está en la línea de tierra: en este caso, es el punto B'. Con un libro abierto en ángulo recto y colocando un lápiz en diversas posiciones, podemos formarnos una idea del aspecto que presentan las proyecciones de un segmento de recta, según sea su posición respecto de los planos de proyección.
En la figura que sigue están dibujadas las proyecciones de una recta situada sucesivamente en las diferentes posiciones:
1) perpendicular al plano horizontal 2) perpendicular al plano vertical 3) paralela al plano horizontal 4) paralela al plano vertical 5) paralela a ambos planos y, por tanto, paralela a la línea de tierra 6) recta que corta a la línea de tierra

jueves, 26 de febrero de 2015

MATEMATICA - Geometría descriptiva elemental

REPRESENTACION DEL PUNTO
En la figura se indican las dos proyecciones de un punto M del espacio y el rebatimiento de uno de los planos de proyección (el horizontal), sobre el otro.
En la siguiente figura están dibujadas las proyecciones de diversos puntos tal como se presenta el dibujo una vez efectuado el rebatimiento. La proyección vertical la hemos distinguido con una comilla.
Se observa que las dos proyecciones M' y M están en la misma perpendicular a la línea de tierra. En efecto: las proyectantes MM y MM', determinan un plano perpendicular a dicha línea, que se llama plano de perfil. Como puede observarse claramente, si el punto dado está sobre el piano horizontal de proyección como el P, su proyección vertical P' cae evidentemente en la línea de tierra y si el punto está en el plano vertical, como el Q, es la proyección horizontal la que está en la línea de tierra: si el punto está en la línea de tierra sus dos proyecciones coinciden con él mismo. Los segmentos MM y MM' nos determinan las distancias del punto al plano horizontal y al plano vertical, respectivamente. En consecuencia, si tenemos las proyecciones de un punto M (fig. 2), sabemos que la distancia de la proyección horizontal a la línea de tierra es igual a la distancia del punto al plano vertical, y que la distancia de la proyección vertical a la línea de tierra es igual a la distancia del punto al plano horizontal.

miércoles, 25 de febrero de 2015

MATEMATICA - Geometría descriptiva elemental

REPRESENTACION DIEDRICA DE CUERPOS GEOMETRICOS Empecemos por representar el ortoedro, tomando para mayor sencillez dos caras del mismo paralelas a los planos de proyecciones.
Las proyecciones tendrán el aspecto de la figura en la cual se indicaron con la misma letra las proyecciones de un mismo vértice. Aun cuando la correspondencia de letras define perfectamente los vértices y, por lo tanto, el sólido, la supresión de las letras de las proyecciones puede dar lugar a confusión, como ocurre, por ejemplo, con la barra cuadrada y la cilíndrica:
En este caso se tienen las mismas proyecciones horizontal y vertical. La confusión radica en que las dos generatrices del cilindro que se proyectan horizontalmente son otras que las proyectadas verticalmente; se salva poniendo letras, pero esto sería molesto en la práctica; por esta causa en los planos se añade una tercera proyección sobre un plano de perfil, que se rebate igualmente sobre el plano del dibujo, con lo cual queda claramente resuelta la confusión.
Todos han visto planos de casas y en ellos figuran: planta, alzada y diversas secciones que equivalen a la 3ª proyección.
A continuación observamos a modo de ejemplo las proyecciones de una pirámide recta de base rectangular y de un prisma hexagonal regular, donde se indica claramente cómo se obtuvieron las diversas proyecciones, horizontal, vertical y de perfil, y el rebatimiento de esta última sobre el plano vertical.
Como los objetos de uso corriente (piezas de maquinaria, etc.) pueden reducirse a una combinación de sólidos geométricos, sus proyecciones se obtienen en forma análoga a la de éstos. En los planos que se usan en los talleres, obras, etc., se añaden, además, las medidas

martes, 24 de febrero de 2015

MATEMATICA - Geometría descriptiva elemental

LA PROYECCION DIEDRICA
Como dijimos, este método consiste en proyectar ortogonalmente la figura dada, sobre las dos caras de un diedro recto, o sea, sobre dos planos perpendiculares, que se llaman planos de proyección y que comúnmente son uno horizontal y el otro vertical, como son, por ejemplo, el piso y la pared de una habitación. Es evidente que no se proyectan todos los puntos de un objeto, pues entonces resultaría una mancha, sino que se proyectan determinados puntos y rectas notables, como lo son, por ejemplo, los vértices, las aristas, los ejes, etc. Estas proyecciones obtenidas sobre los dos planos perpendiculares, se colocan luego en un mismo plano mediante un simple rebatimiento de uno de los planos de proyección sobre el otro, rebatimiento que se efectúa alrededor de la recta de intersección de ambos tomada como eje, recta que se llama línea de tierra y que indicaremos por las iniciales LT o con dos pequeños trazos en sus extremos. La proyección sobre el plano vertical se llama proyección vertical y la otra, proyección horizontal.

lunes, 23 de febrero de 2015

MATEMATICA - Geometría descriptiva elemental

LOS METODOS DE REPRESENTACION
La finalidad de estos métodos de representación es la de poder dibujar en un plano los cuerpos del espacio, ya sea de modo que sus medidas puedan indicarse a una cierta escala en forma exacta o de modo que representen al objeto tal como se ve desde un determinado punto del espacio. Con la sola enunciación de estas finalidades puede comprenderse claramente la enorme ventaja que significa el conocimiento de tales métodos de representación, los cuales no sólo facilitan la explicación de las formas y dimensiones de objetos reales o ideales y nos permiten representar los cuerpos y figuras del espacio con toda exactitud, sino que con la sola guía del plano se puede construir el objeto representado. Es así como el constructor edifica la casa ideada por el arquitecto gracias al plano diseñado por éste, y el mecánico construye las piezas de máquinas proyectadas por el ingeniero. La representación de los objetos mediante su imagen perspectiva, o sea, la imagen que se obtiene viéndolos en determinadas condiciones, presenta el inconveniente de que la deformación que sufren ciertas magnitudes del cuerpo no permite determinar su medida exacta, ya que la escala cambia de una a otra línea del dibujo y aun dentro de cada línea. En cambio, el método de representación mediante la proyección diédrica, o sea, mediante las proyecciones ortogonales de ciertos puntos del objeto sobre las caras de un diedro recto, facilita la determinación exacta de las diversas medidas del mismo, por lo cual será el único método que veremos en forma muy elemental.

domingo, 22 de febrero de 2015

MATEMATICA - Función exponencial y función logarítmica

POTENCIAS ENTERAS DE LOS NUMEROS REALES
Todas las reglas de cálculo con potencias valen para toda clase de números, sean fraccionarios o irracionales, positivos o negativos:
1) Para multiplicar potencias de igual base se suman los exponentes:
a? . a? = a?+?
2) Para dividir potencias de igual base se restan los exponentes:
a? : a? = a?-?
3) Para elevar una potencia a otra potencia se multiplican los exponentes:
(a? )? = a??
4) Para multiplicar potencias de igual exponente se multiplican las bases y recíprocamente: para elevar un producto a una potencia se eleva cada uno de los factores.
a? . b? = (a.b)?

sábado, 21 de febrero de 2015

MATEMATICA - Areas y volúmenes

VOLUMEN DE LAS PIRAMIDES
El principio de Cavalieri nos permite asegurar que una pirámide cualquiera es siempre equivalente a una pirámide triangular de base equivalente e igual altura. Habrá que comparar por consiguiente esta pirámide triangular con el prisma, cuyo volumen ya sabemos calcular.
Observemos atentamente la figura: Si en (a) separamos la pirámide marcada con trazo fuerte queda una pirámide cuadrangular de vértice D, que se puedeseparar en dos pirámides equivalentes (igual base y altura) si se hace la sección según la línea de puntos FC de ACEF. Ya en (c) están en evidencia las tres pirámides equivalentes entre síy que en conjunto forman el prisma. En virtud de lo dicho sobre el volumen del prisma resulta: El volumen de una pirámide cualquiera es igual a un tercio del producto del área de su base por la medida de su altura.

viernes, 20 de febrero de 2015

MATEMATICA – Triángulos

SUMA DE LOS ANGULOS DEL TRIANGULO Para sumar los ángulos de un triángulo ABC, dibujado sobre una hoja de papel, podemos doblarlo por la "línea MN de los puntos medios de dos lados hasta caer A sobre BC; después se doblan las dos puntas hasta hacerlas coincidir con A, y como componen un ángulo llano resulta: La suma de los ángulos de un triángulo es igual a dos ángulos rectos.
Esta manipulación empírica deja algunas dudas: ¿por qué el vértice A caerá exactamente sobre BC? ¿Por qué al doblar las dos puntas caerán precisamente sobre A? Veamos ahora la demostración de Euclides basada en el teorema de la igualdad de ángulos alternos internos.
Trazando por A la paralela al lado BC, quedan formados tres ángulos: ß, A, ?, que sumados constituyen un llano. Pero ß = B por ser ángulos alternos internos entre paralelas, y análogamente es ? = C, y por consiguiente:
A + B + C = 2R
Esta demostración de Euclides es sencillísima y mucho más convincente que el experimento del papel plegado; pero la crítica moderna encuentra en ella lagunas por llenar. 1) La paralela por A ¿será exterior al triángulo? Hay que probarlo, aunque se vea. 2) Es preciso apoyarse en un postulado o teorema anterior: "cada recta divide al plano en dos regiones", cosa que no sucede en otras geometrías. La propiedad de la suma de los ángulos del triángulo de ser igual a dos ángulos rectos, es característica de la geometría euclidiana y no se verifica, por ejemplo, en la superficie esférica. Gracias al teorema de la suma basta conocer dos ángulos para saber el tercero, y así se determina la paralaje anual de un astro; se llama así al ángulo que forman dos visuales dirigidas a él desde dos puntos diametralmente opuestos de la órbita terrestre. Medidos los ángulos en T y T' basta restarlos de 180° para tener la paralaje y deducir después la distancia al astro. La paralaje de la estrella a del Centauro, una de las dos más cercanas a nosotros, es 0”.8; son pocas las que tienen paralaje perceptible.

jueves, 19 de febrero de 2015

ARITMETICA - Potencias y raíces

EXTRACCION DE LA RAIZ CUADRADA Nos limitaremos a explicar el método aplicándolo a un ejemplo. Calculemos la raíz cuadrada entera del número 346.082.573, es decir se trata de hallar un número entero tal que elevado al cuadrado sea menor que 346.082.573, pero que el siguiente cuadrado ya sea mayor.
a) Se comienza por descomponer el número en grupos de dos cifras, de derecha a izquierda, pudiendo constar el grupo de la izquierda de una o dos cifras (en este caso lo integra sólo el número 3).
b) Se calcula la raíz exacta o entera del primer grupo y ésa será la primera cifra de la raíz, que se anota en el lugar destinado a la raíz, calculando además el resto (en nuestro caso 3 — 1³ =  2).
c) Se baja a la derecha del resto el segundo grupo (quedando así constituido el número 246) y se separa con una coma la última cifra del número así formado. Se forma el duplo de la raíz hallada (1 . 2 = 2) y se calcula mentalmente el cociente de una cifra entre el número que queda a la izquierda (24) y este duplo (2) (en nuestro ejemplo a lo sumo sería posible el número 9).
d) La cifra así obtenida es la siguiente de la raíz o mayor que ella. Para ensayarla se coloca esa cifra a la derecha del duplo de la raíz hallada y se multiplica el número así formado por esa misma cifra. Si el producto se puede restar del número formado por el primer resto parcial seguido del segundo grupo, la cifra es buena y se colocará a la derecha de la anterior de la raíz. Si el producto es mayor, se opera con la cifra que resulta de disminuir en una unidad la cifra antes ensayada. (En nuestro caso, por ejemplo colocando el 9, resulta 29 . 9 = 261, que es mayor que 246; por eso utilizamos el 8, con lo que se obtiene el número 224 menor que 246. Si con 8 tampoco resultara, se ensayaría con 7, etc.)
e) Se baja ahora a la derecha del segundo resto el tercer grupo, y separando con una coma la cifra de la derecha se divide mentalmente el número así obtenido (220) por el duplo de la raíz hallada (2 . 18 = 36). En esta forma se continúa la operación como antes, hasta agotar todos los grupos. El último resto es el resto de la operación; si es cero, la raíz es exacta, de lo contrario es entera. Puede resultar que algunas de las cifras de la raíz resulten 0, tal como se ve en el desarrollo total del ejemplo, cuando se debe tratar de dividir 122 por 372. Bajando un nuevo período se debe dividir 12 257 por 3 720 y así se obtiene la nueva cifra 3.
Prueba: Elevando al cuadrado la raíz hallada y sumando el resto se debe obtener el número dado:
18603 ² + 10964 = 346.082.573

miércoles, 18 de febrero de 2015

MATEMATICA - Magnitudes inconmensurables y números irracionales

RAIZ CUADRADA APROXIMADA
Los símbolos v2,v3 ,v5, … , v10 carecen de sentido aritmético, pero siempre lo tienen geométrico, por el teorema de Pitágoras o como medias proporcionales entre los segmentos 2, 3, ... y la unidad; para suplir esta deficiencia de la Aritmética, hay dos recursos:
1) Conformarnos con encontrar números cuyos cuadrados den aproximadamente 2, 3, 5,... 2) Crear nuevos números cuyos cuadrados sean exactamente 2, 3, 5,...
Resolvamos ahora el primer problema, definiendo: Raíz cuadrada aproximada en menos de (o con error menor de) una décima, una centésima, una milésima... es el mayor número de décimas, centésimas, milésimas..., cuyo cuadrado está contenido en el número dado.
Esta raíz aproximada se halla con la siguiente regla: Para extraer la raíz cuadrada en menos de una unidad de un cierto orden decimal, se multiplica el radicando por la unidad seguida de un número de ceros igual al doble de cifras decimales que se deseen en la raíz. Se extrae la raíz entera de la parte entera del producto y colocando la coma se tiene la raíz con todas sus cifras exactas.
Ejemplo: Si queremos hallar v2 en menos de una centésima, debemos considerar como radicando 20000. Se calcula v20000 = 141 y resulta entonces v2 = 1,41.

martes, 17 de febrero de 2015

MATEMATICA - Magnitudes inconmensurables y números irracionales

GRADO DE PRECISION DE LAS MEDIDAS Y JERARQUIA ENTRE LAS CIENCIAS
Para medir una longitud, por ejemplo un segmento, hemos dicho que debemos compararlo con otra magnitud de la misma especie que se toma como unidad. Si U está contenido un número exacto p de veces en AB, ese número p será la medida de AB respecto de U. Si U no está contenido un número exacto de veces, debe tomarse la medida de U, la tercera parte, la cuarta parte, etc... , y si la parte U/n está contenida m veces en AB, decimos que la medida de AB respecto de U es m/n.
Para llegar a la medida de esta magnitud hemos supuesto dos cosas: 1) La divisibilidad indefinida de la unidad en cualquier número n de partes. 2) La posibilidad de llegar a coincidencia exacta con la magnitud AB mediante un cierto número m de esas partes alícuotas.
El primer supuesto, o sea la divisibilidad indefinida de las magnitudes, no se verifica en la realidad por la estructura molecular de la materia, que rompe la homogeneidad y la continuidad supuestas. Respecto de la segunda hipótesis, es de apreciación difícil cuando la unidad es muy pequeña; así, por ejemplo, en la medida de longitudes, aunque los extremos del segmento medido estén señalados con dos rayas finísimas, y nos sirvamos del ultramicroscopio para apreciar fracciones de milésimo de milímetro, la estructura molecular impide toda determinación más allá de la 7ª cifra decimal; y si se trata de medir grandes extensiones y utilizamos una cinta metálica, el error es del orden de los centésimos. En definitiva, la técnica usual no puede apreciar en sus medidas más de 7 cifras decimales exactas y, en general, se dice que una ciencia es tanto más perfecta cuanto mayor número de cifras exactas tienen los resultados que calcula. Después de la Matemática pura, que obtiene infinitas cifras y de la Aritmética financiera, que maneja números de cualquier número de cifras (la parte decimal sólo llega al centavo) la ciencia más exacta es la Astronomía, que calcula sus elementos hasta la 7ª cifra decimal; le siguen la Física (hasta 5 ó 6 cifras), la Química (3 ó 4 cifras); la Ingeniería, que es una aplicación de la Matemática y de la Física, calcula solamente con 2 ó 3 cifras por la indeterminación de muchos elementos que intervienen en sus problemas. Ahora bien, puesto que las unidades que sirven de datos a las ciencias de aplicación son números racionales de pocas cifras decimales, y es imposible alcanzar mayor aproximación, ¿no será posible edificar la Matemática con números enteros y fraccionarios exclusivamente? Si así fuera, todas las magnitudes serían conmensurables entre sí, vale decir, que dados, por ejemplo, dos segmentos cualesquiera, siempre existirán dos números enteros m y n tales que la medida del primer segmento con respecto al segundo sea m/n. Tal cosa no ocurre. Hay un ejemplo muy simple conocido desde hace más de 2.000 años que lo muestra con toda evidencia.

lunes, 16 de febrero de 2015

MATEMATICA - Magnitudes inconmensurables y números irracionales

EXPRESIONES DECIMALES PERIODICAS
Al extraer la raíz cuadrada de 2 con aproximación cada vez mayor, vamos obteniendo las cifras 1,414... y el proceso no tiene fin, pues ya hemos demostrado que ningún número racional puede dar 2 al elevarlo al cuadrado. No es la primera vez que encontramos expresiones de infinitas cifras. Si efectuamos la división 1 : 9
Vemos que la expresión 0,111...1 se va aproximando a 1/9 indefinidamente y se dice que tiene como límite 1/9 escribiéndose:
lim. 0,111...1 = 1/9
O bien
0,111...1... = 1/9
Donde los puntos suspensivos equivalen a la abreviatura límite. Análogamente:
1/99 = 0,010101...
1/999 = 0,001001...
Estas expresiones se llaman periódicas, y cualquiera que sea el período, representan números fraccionarios. Por ejemplo:
0,232323... = 23/99
4,107107107… = 4 + 107/999
REGLA: Se pone por numerador el período y como denominador tantos 9 como cifras tenga el período.
Si hay parte no periódica, como en 1,0142525 ... se corre la coma y resulta:
1014,252525… = 1014 + 25/99
1,01425 = 1,014 + 25/99000
Conclusión: Toda expresión decimal periódica representa un número racional.

domingo, 15 de febrero de 2015

MATEMATICA - Magnitudes inconmensurables y números irracionales

DEFINICION NUMEROS IRRACIONALES
En vista de este resultado, estamos seguros de que la expresión obtenida al extraer la raíz no será periódica, pues en tal caso representaría un número racional. Una expresión decimal no periódica se llama número irracional.
Ejemplo de números irracionales:
v2 = 1,414... p = 3,14159... e = 2,71828182845...
Las operaciones con tales números se hacen por el método de aproximaciones sucesivas. Así para calcular p + e limitaremos ambos sumandos en la décima, centésima, etc. y sumando resulta:
5,8 ; 5,85 ; 5,859 ; 5,8597 ; 5,85987
Luego tenemos como cifras definitivas: p + e = 5,8598 ...
Análogamente al multiplicar se tienen los valores aproximados:
8,37 ; 8,5094 ; 8,53723 ; y así se llegan a obtener las cifras definitivas 8,539...

sábado, 14 de febrero de 2015

MATEMATICA - Magnitudes inconmensurables y números irracionales

DEFINICION MAGNITUDES INCONMENSURABLES
Consideremos un cuadrado de lado 1 y cuya diagonal sea d, ¿cuál es la medida de d?
Evidentemente esa medida es mayor que 1 y menor que 2. Supongamos ahora que la medida de d sea un número racional m/n siendo m y n números primos entre sí. En virtud del teorema de Pitágoras que afirma que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los lados, se tiene:
(m/n) ² = 1² + 1² = 2
Luego:
m² = 2n²
Por ser m² el producto de un número por 2, debe ser par; por consiguiente, m debe ser par. Si m es par, es divisible por 2 y m² por 4. Simplificando se tendrá:
m² / 4 = n² / 2
Como el primer miembro es un número entero, el segundo también debe serlo y por lo tanto n² debe ser divisible por 2, por lo cual n debe ser par. Pero hemos partido del supuesto de que m y n eran primos entre sí y acabamos de demostrar que m y n son pares. Por consiguiente, hay en esto un absurdo, que proviene de haber supuesto que la medida de la diagonal es un número racional. Así queda contestada al mismo tiempo la pregunta hecha anteriormente y podemos afirmar que no siempre es posible expresar mediante un número racional m/n la medida entre dos magnitudes. En tales casos se dice que las magnitudes son inconmensurables entre sí: la diagonal de un cuadrado es inconmensurable con el lado. Si bien la técnica no necesita otros números que los enteros y fraccionarios, la Matemática exacta, cuyas magnitudes tienen exactitud indefinida y están libres de discontinuidad molecular, necesita considerar el caso en que las magnitudes son inconmensurables. El descubrimiento de la irracionalidad de la diagonal del cuadrado, debido a los pitagóricos, fue la ruina de su sistema filosófico, que suponía las figuras formadas por número finito de puntos, como la materia está formada de átomos. Por eso lo mantuvieron oculto. También fueron eficaces en contra de esa doctrina pitagórica los argumentos de Zenón de Elea, que no tendían, como suele decirse, a probar la imposibilidad del movimiento, sino a mostrar su incompatibilidad con la concepción atomista del espacio y del tiempo que poseían los pitagóricos.

viernes, 13 de febrero de 2015

MATEMATICA – Geometría esférica

LA SUPERFICIE ESFERICA Y LA ESFERA
De igual manera que la Agrimensura dio origen a la geometría del plano, la Astronomía dio la pauta para la geometría esférica, o estudio geométrico de la esfera. Se llama superficie esférica de centro O y radio r a la formada por todos los puntos del espacio que están a distancia r de O. Por consiguiente si trazamos un plano que pasa por O, los puntos de intersección estarán a igual distancia de O y constituirán una circunferencia. Las rectas que pasan por el centro se llaman diametrales y el segmento igual a 2r, interceptado por la superficie, se llama diámetro.
La superficie esférica y los puntos interiores a la misma forman el cuerpo llamado esfera; sin embargo, se usa a veces esta palabra para designar la superficie y así se dice en Astronomía: esfera celeste. Si consideramos una semicircunferencia como la de la figura, de diámetro PQ y la hacemos girar alrededor de PQ, se obtiene la superficie esférica: por eso se dice que la esfera es una superficie de rotación o de revolución, alrededor de cualquiera de sus diámetros. En particular las semicircunferencias cuyos centros coinciden con O se llaman meridianos y las circunferencias determinadas por planos perpendiculares a PQ se llaman paralelos, excepto aquel que pasa por O y que se llama ecuador.

jueves, 12 de febrero de 2015

ARITMETICA - Potencias y raíces

HISTORIA DE LAS POTENCIAS Y RAICES
La primera raíz cuadrada se presentó en el problema de la determinación de hipotenusas, y la primera raíz cúbica, parece que fue en el problema de la duplicación del cubo (determinación de la arista de un cubo de volumen doble al de uno dado), que tuvo en jaque a casi todos los matemáticos de la antigüedad. Las potencias y raíces de grado superior aparecieron más tarde con Diofanto (siglos III y IV) y los árabes del siglo XII. Las potencias de las incógnitas de los problemas se llamaron durante la Edad Media con los más variados nombres (res o cosa, censo, quadrato, cubo, censo de censo, primo relato, censo de cubo...). No había mucha uniformidad en estas denominaciones. Menos la hubo en las notaciones. Prevaleció durante mucho tiempo la notación por medio de iniciales combinadas y más o menos deformadas de aquellas palabras. Esta desdichada notación impidió ver claras las leyes del cálculo con potencias, hasta que ciertos matemáticos del siglo XVI introdujeron poco a poco la noción de exponente. En particular esta palabra se debe a Stifel, quien dio ya la regla de suma y resta de exponentes. En el siglo XVII, Descartes usaba ya los signos actuales. El procedimiento de cálculo de la raíz es de origen también hindú. La homonimia de la raíz aritmética con la del órgano de los vegetales se ha empleado desde tiempo inmemorial, lo mismo en la India que en el mundo latino, sin que se haya explicado satisfactoriamente la razón.

miércoles, 11 de febrero de 2015

MATEMATICA - Función exponencial y función logarítmica

LOGARITMOS DADOS EN FORMA NEGATIVA
A veces se presentan logaritmos afectados por un signo menos. Por ejemplo — 2,8674 que escrito así significa:
— 2 — 0,8674
Para escribirlo en la forma normal (parte decimal POSITIVA) se suma y se resta 1 al número en la siguiente forma:
— 2,8674 = — 2 — 1 + 1 — 0,8674 = — 3 + 0,1326 = ´3`,1326
Que es la notación más cómoda.
La regla general es entonces la siguiente: Dado un logaritmo en forma completamente negativa, la mantisa positiva se obtiene tomando el complemento de la parte decimal: la característica resulta aumentando en una unidad la parte entera y poniéndole encima el signo —.

martes, 10 de febrero de 2015

MATEMATICA - Funciones circulares

SENO, COSENO, TANGENTE
Si en un plano a escala 1/100 la longitud del dibujo de un puente es 20 cm, puede asegurarse que la longitud del puente es 20 m, pero si en vez de un puente, o edificio horizontal, se trata de un camino inclinado, en el plano aparece solamente su proyección horizontal y para deducir la verdadera longitud, es preciso conocer la pendiente. Cuando decimos que la pendiente de un camino o línea férrea es 2 % queremos expresar que por cada 100 metros de proyección horizontal, se eleva 2 m. En cambio los ingleses entienden que por cada 100 m de camino oblicuo se eleva 2 m. Tenemos, pues, dos tipos de medidas
y/x = cateto vertical / cateto horizontal
y/r = cateto vertical / hipotenusa
Estas dos razones reciben nombres especiales en una importante rama de la Matemática, que se llama Trigonometría. Así, se llama a y/x tangente del ángulo a y a y/r seno del ángulo a. También se define el coseno del ángulo a como la razón x/r. Estas razones, que son números abstractos, tienen la importancia de que caracterizan completamente al ángulo, de modo tal que en lugar de medir los ángulos con grados, minutos y segundos se los puede medir dando los valores del seno, coseno, etc. Las notaciones que se usan son las siguientes:
sen a = y/r
cos a = x/r
tg a = y/x
Y las tres se llaman funciones circulares. Este nombre está justificado, pues si se dibuja una circunferencia de radio unidad, el seno y coseno son las medidas de los catetos y, x respecto de esa unidad, o sea las coordenadas del punto P móvil sobre la circunferencia.
Es evidente que tanto el seno como el coseno son menores que la unidad, pero la tangente puede ser mayor o menor que la unidad.
Para 0°: x = r ; y = 0. Luego: cos 0° = 1, sen 0° = 0, tg 0° = 0.
Para 90°: x = 0 ; y = r. Por consiguiente: sen 90° = 1, cos 0° = 0.
Para 45°: x = y. Por lo tanto: tg 45° = 1.

lunes, 9 de febrero de 2015

MATEMATICA - Funciones y ecuaciones de segundo grado

RESOLUCION GRAFICA DE LA ECUACIÓN
He aquí una sencilla construcción con regla y compás para resolver la ecuación x (x + 2p) = q. Sobre el eje x se lleva —2p levantando la perpendicular en el punto medio —p. Sobre el eje y se llevan los puntos y = 1, y = q levantando en el punto medio la perpendicular, que con la otra determinan el centro C de una circunferencia, sobre la cual determina la recta y = 1 (o la y = q) dos puntos cuyas abscisas son las raíces x' x" de la ecuación propuesta.
En efecto, la potencia del punto x' es:
x'O . x'P = x'M . x'Q
Y esta igualdad es la ecuación propuesta; lo mismo para x".

domingo, 8 de febrero de 2015

MATEMATICA - Funciones y ecuaciones de segundo grado

RESOLUCION DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Hemos aprendido a resolver muy sencillamente ecuaciones del tipo ax + b = 0. Pero si la ecuación es del tipo: ax² + bx + c = 0 la cuestión se complica, pues no se puede despejar tan fácilmente la incógnita x que figura en el primero y segundo término. Necesitamos que x esté en un solo término, para lo cual puede observarse que dividiendo por a y llamando: b/a = 2p y c/a = q La ecuación se puede escribir así: x² + 2px + q = 0 Ahora bien: x² es el cuadrado de x y 2px es el duplo del producto de x por p, luego falta sólo p² para tener el desarrollo de un cuadrado; sumando y restando p² tendremos: x² + 2px + p² — p² + q = 0 Que se puede escribir así: (x + p)² = p² — q Puesto que el primer miembro no puede ser nunca negativo, resulta que si p² < q no existe solución. Si p² >= q, extrayendo primero la raíz cuadrada y trasponiendo luego p resulta: x =—p ± v (p ² —q) El doble signo hay que colocarlo, pues siempre hay dos números —uno positivo y otro negativo— que elevados al cuadrado dan un número positivo.

sábado, 7 de febrero de 2015

MATEMATICA - Funciones y ecuaciones de segundo grado

FUNCIONES Y SU REPRESENTACION GRAFICA
El cuadrado de un número "depende de este número variable x, de tal modo que a cada valor de x corresponde uno y" que llamamos su cuadrado; este tipo de correspondencia se presenta en muchos casos, como el cubo, la raíz cuadrada, cúbica, etc., e infinitas otras combinaciones de operaciones elementales, por ejemplo:
y = x² , y =vx , y = x³ , y = v³ x, y = ax + b , y = 1/x , …
Todas estas correspondencias reciben el número genérico de función, palabra que condensa brevemente el significado de la frase puesta entre comillas. Todos saben que al crecer x crece su cuadrado; pero este modo de crecer se ve mejor llevando los valores de x sobre un eje, y en cada punto levantaremos una ordenada que representa el consiguiente valor de y, hacia arriba si es positivo, hacia abajo si es negativo.
Esta curva recibe el nombre de parábola. Para representar la función y = vx no es preciso repetir el proceso; basta cambiar en la figura las letras x e y. Dos funciones que expresan la correspondencia entre dos variables, tomadas en un sentido o en el opuesto, se llaman inversas. Son ejemplos de funciones inversas: cuadrado y raíz cuadrada; cubo y raíz cúbica. La inversa de 1/x es ella misma.

viernes, 6 de febrero de 2015

MATEMATICA - Funciones y ecuaciones de segundo grado

EL PROBLEMA DEL POZO
Supongamos que dejamos caer una piedra a un pozo cuya profundidad desconocemos. Al cabo de 10 segundos escuchamos el choque de la piedra con el agua. ¿Cuál es la profundidad del pozo? La física nos enseña que la piedra al caer adquiere un movimiento regido por la ley:
E = —gt²/2 = 5 t² (aprox.)
(Siendo e el espacio recorrido, g la aceleración de la gravedad [aproximadamente g = 10 m por s. y por s.] y t el tiempo transcurrido desde el instante que se dejó caer la piedra.) Cuando la piedra choca con el agua se produce un ruido que llega a nuestros oídos al cabo de t segundos, y dado que la ley de propagación del sonido es la de un movimiento uniforme, es:
e = 340 t1
Siendo 340 m por segundo la velocidad del sonido. Pero el tiempo total que transcurre desde que se deja caer la piedra hasta que se oye el ruido es de 10 segundos, es decir t = 10, o sea t1 = 10— t. Como el valor de e en las dos ecuaciones debe ser el mismo, se tiene finalmente:
5 t² = 340 (10 — t)
Dividiendo por 5 y ordenando los términos se tiene:
t² + 68t — 680 = 0
Aplicando la fórmula de resolución resulta:
t = v—34 ± ( 1156 + 680)
Que da los valores 8,85 y —76,85. La segunda solución no tiene significado físico, puesto que da un tiempo negativo y nos debemos limitar a considerar la solución positiva t = 8,85. Reemplazando este valor en cualquiera de las expresiones de e se obtiene un valor de 391 m, aproximadamente.
ADVERTENCIA: A veces aparecen en la solución de los problemas soluciones como la que antecede (t = —76,85) y que no tienen significado alguno. Estas soluciones se llaman soluciones extrañas.

jueves, 5 de febrero de 2015

MATEMATICA - Funciones y ecuaciones de segundo grado

EL PROBLEMA DE LAS LUCES
Sobre la recta que une dos focos luminosos de intensidades conocidas a y b, y separados una distancia d, determinar el punto en que una pantalla queda iluminada igualmente por ambos.
Sean, por ejemplo, los focos M y N separados una distancia d, y cuyas respectivas intensidades son a y b. Tenemos que determinar la distancia x de uno de ellos, el M, por ejemplo, a una pantalla P, de modo que ésta quede igualmente iluminada por ambos. Se conoce un principio físico, que dice que la intensidad de la luz de un foco luminoso es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia. Es decir: si la intensidad luminosa de un foco es a, tomada a la unidad de distancia, una pantalla colocada a 2 unidades de dicho foco estará iluminada con una intensidad, no 2 veces menor, sino 2² veces menor, y si está colocada a una distancia de x unidades, recibirá la luz con una intensidad x² veces menor. Por lo tanto, la intensidad del foco M en el punto P, o sea a la distancia x, es a/x²; y la intensidad de N en el punto P, o sea, a la distancia d—x es b/(d—x)². Como el problema establece que ambas intensidades deben ser iguales, planteamos la siguiente ecuación:
a/x² = b/(d—x)²
Que preparada, es: (a — b) x² — 2adx + ad² = 0
1º caso: (a = b) La ecuación es de 1º grado y resulta x = d/2, como era de esperar. 2º caso: (a > b) Se despejará x por la regla general.

miércoles, 4 de febrero de 2015

MATEMATICA - Funciones y ecuaciones de segundo grado

REPRESENTACION GRAFICA DE LA FUNCION DE 2º GRADO El trinomio y = x² + 2px + q es suma del monomio y1 = x², y del binomio lineal y2 = 2px + q que están representados por una parábola y una recta. ¿Qué sucederá si se suma la ordenada de una y otra línea? No parece que resulte curva simétrica, puesto que lo es la parábola, pero la recta no lo es. El artificio de sumar y restar p² nos da la contestación, pues siendo: y = (x + p)² + d d = q — p² Salta a la vista que basta trasladar verticalmente la curva y = (x + p)² un segmento d. Pero esta curva es la misma parábola y = x² con el origen en el punto —p (dibujada con trazos en la figura). Resulta, pues, contra lo esperado, una curva simétrica, pero respecto de otro eje. Por tanto: la gráfica de la función de 2º grado es una parábola cuyo eje de simetría es la recta x = —p y su ordenada en el origen es q. Si d < 0 es decir p²—q > 0, la parábola corta al eje x en dos puntos x' y x".

martes, 3 de febrero de 2015

MATEMATICA - Funciones circulares

FUNCIONES CIRCULARES DE ANGULOS MAYORES DE 90º
¿Qué sucederá con las funciones circulares si el ángulo es mayor de 90°? La circunferencia de radio unidad, o circunferencia trigonométrica que hemos utilizado nos permite ver que los segmentos x e y varían dentro de los mismos valores que antes, pero que los signos se alteran, si es que conservamos la convención de signos utilizada en Geometría analítica.
Hemos dibujado ángulos correspondientes a los cuatro cuadrantes y recordando que y mide el seno, x el coseno y que el cociente y/x mide la tangente, resulta el siguiente cuadro para la variación de signos:
Es interesante ver que cualquier ángulo puede calcularse conociendo los valores de las funciones de los ángulos del primer cuadrante: Si el ángulo es del segundo cuadrante, basta compararlo con el ángulo suplementario; si el ángulo es del tercer cuadrante se lo compara con el ángulo que resulta de restarle 180°, y si el ángulo es del cuarto cuadrante se lo compara con el ángulo con el que se completaría un giro. Teniendo en cuenta el cuadro anterior de los signos, resultan las fórmulas:
sen (180° — a) = sen a cos (180° — a) = — cos a tg (180° — a) = tg a
sen (a — 180°) = — sen a cos(a — 180°) = — cos a tg (a — 180°) = tg a
sen (360° — a) = — sen a cos (360° — a) = — cos a tg (360° — a ) = — tg a

lunes, 2 de febrero de 2015

MATEMATICA - Funciones circulares

RELACIONES ENTRE SENO, COSENO Y TANGENTE DE ANGULOS COMPLEMENTARIOS
Según las definiciones de las funciones trigonométricas y de acuerdo a la figura resulta:
sen (90° — a) = x/r = cos a cos (90° — a) = y/r = sen a tg (90° — a) = x/y = tg a
Es decir: El seno y el coseno de un ángulo son el coseno y seno del complementario, y la tangente y la cotangente de un ángulo son la cotangente y tangente del complementario. Querrá decir que si se conocen los valores de las funciones circulares de 0° a 45° se conocen sin más hasta 90°.

domingo, 1 de febrero de 2015

MATEMATICA - Funciones circulares

RELACIONES ENTRE SENO, COSENO Y TANGENTE DE UN ANGULO
Las distintas funciones trigonométricas se pueden relacionar de varios modos. Si aplicamos en el triángulo rectángulo el teorema de Pitágoras tendremos:
x² + y² = r²
Y dividiendo por r²:
(x/r) ² + (y/r) ² = 1
Como por definición:
y/r = sen a
x/r = cos a
Resulta
sen² a + cos² a = 1
Es conveniente escribir brevemente sen² a y cos² a en vez de (sen a)² y (cos a)², que sería más correcto.
De esta relación fundamental (relación pitagórica) se deduce el valor de cos a cuando se conoce el seno y viceversa, pues extrayendo la raíz cuadrada resulta:
cos a = v (1 — sen² a)
sen a = v (1 — cos² a)
De las definiciones resulta, sin más que dividir:
tg a = sen a/cos a
Entonces, conociendo la tangente de un ángulo, puede calcularse su seno y coseno escribiendo el denominador sen² a + cos² a = 1 para hacer homog énea la expresión y dividiendo por cos² a numerador y denominador.
Y extrayendo la raíz cuadrada, resultan las fórmulas:
La razón inversa de la tangente x/y suele llamarse cotangente y se expresa:
cotg a = x/y = cos a/sen a
CUADRO DE EQUIVALENCIAS