jueves, 30 de abril de 2015

MATEMATICA - Fracciones decimales y ordinarias

MEDICION NUMEROS MUY PEQUEÑOS. NONIUS O VENIER
Con una regla dividida en mm difícilmente se pueden apreciar diferencias menores que medio milímetro. Se logra apreciar décimas de milímetro añadiendo a la regla el llamado nonius, que es otra reglita graduada que se desliza sobre aquélla y contiene 10 divisiones en un intervalo de 9 milímetros, de modo que cada división del nonius vale 0,9 mm.
En la figura se indica cómo, mediante esta reglita podemos medir en décimas de milímetro, la longitud de un segmento. En la regla grande se aprecia que esta longitud vale 17 mm y una fracción de milímetro cuyo valor se obtendrá observando la división del nonius que coincide con una de la regla. Si ésta es la división cuarta, como ocurre en la figura, la porción que queremos apreciar vale 0,4; pues cada raya del nonius se va retrasando 0,1 respecto de la correspondiente raya de la regla. Por tanto, la longitud medida es 17,4 mm. Este nonius actual, ideado por Vernier, suele ir acoplado a todo instrumento delicado de medida y hasta figura en los de uso corriente en los oficios, como son el palmer de tornillo micrométrico y el calibrador o pie de rey, en las dos formas representadas en la figura. Si cada vuelta del tornillo avanza 1 mm y el tambor del palmer está dividido en 10 partes, cada una representa 0,1 mm y con el nonius se aprecia el espesor de cualquier lámina con error de 0,01 mm.

miércoles, 29 de abril de 2015

MATEMATICA - Fracciones decimales y ordinarias

HISTORIA DE LA COMA
Así como la noción del valor relativo de las cifras y la introducción del cero han permitido un desarrollo extraordinario de los cálculos aritméticos, la utilización de la coma para la escritura de fracciones ha significado un importante acontecimiento en la historia de la ciencia. Ya hacia el año 1000 aparece en Europa la numeración decimal, de los números enteros, pero por primera vez, en el año 1585, el matemático Stevin utiliza una notación de las fracciones decimales que puede considerarse como un precedente de nuestra actual escritura. He aquí un cuadro esquemático de las distintas notaciones:
Desde hace más de 150 años se ha estabilizado el uso de la coma en la forma actual, o bien del punto, como usan los ingleses. La creación y difusión del sistema métrico ha contribuido mucho en este sentido.

martes, 28 de abril de 2015

MATEMATICA - Fracciones decimales y ordinarias

EXPRESION ABREVIADA DE LOS NUMEROS DECIMALES
Cuando el número que expresa la medida es muy grande o muy pequeño, se acostumbra a dar como aproximación para formar idea de su cuantía, la primera cifra significativa seguida de la denominación de sus unidades, expresada por una potencia de 10. Así se dice que el presupuesto de un país es de 3 mil millones, escribiendo: 3 . 10^9; o que el número de moléculas de un gas ideal contenidas en 1 mm³ a 0° y presión atmosférica, es de 3 . 10^16.
Cuando no es suficiente la primera cifra, se escriben a continuación la 2ª, 3ª, etc., después de una coma, puesto que son décimas, centésimas, etc., de dicha primera unidad. Así, por ejemplo, los resultados de diversos métodos físicos para calcular el número de moléculas son: 3,7 . 10^16; 2,76 . 10^16; 3,78 . 10^16. (Observemos de paso, que a pesar de la diferencia sensible de estos números, debe considerarse como una gran conquista científica el poder precisar que el número de moléculas es un número de 17 cifras.) Las medidas muy pequeñas se expresan en unidades especiales. Así se utiliza la micra o micrón (µ), que es la milésima de milímetro: 1 µ = 0,001 mm; y el ángstrom, que es igual a la diezmillonésima de mm.
El diámetro de los átomos varia aproximadamente entre 1 a 5 unidades ángstrom. Si el diámetro de un átomo es un ángstrom, 10.000.000 de átomos alineados ocupan una extensión de 1 mm. El diámetro de un electrón es la cienmilésima del diámetro del átomo y el del protón es la cienmillonésima del diámetro del átomo.
Considerando ahora las grandes distancias, debemos recurrir a una unidad especial: el año- luz, que es la distancia recorrida por la luz al cabo de un año a razón de 300.000 km por segundo. La estrella más próxima a nosotros (Alfa, del Centauro) está a 4 años-luz de distancia y para ciertas nebulosas se calcula la distancia en más de 100.000 años-luz. La Vía Láctea es un conglomerado de estrellas de forma elipsoidal cuyo diámetro mayor se calcula en 40.000 años-luz. ¡Cuánta razón tenía Blas Pascal cuando decía que el hombre se agita entre lo infinitamente grande y lo infinitamente pequeño!

lunes, 27 de abril de 2015

MATEMATICA - Fracciones decimales y ordinarias

LAS FRACCIONES ORDINARIAS
La división sistemática de la unidad en 10 partes según la norma del sistema métrico decimal tiene serios inconvenientes. Si una varilla de 1 m se divide en tres partes, ¿cómo representar cada varilla parcial? Tiene 33 cm con un pequeño sobrante que tiene 3 mm y un sobrante muy pequeño que vale 1/3 de mm o sea 3 diezmilésimos, etc., indefinidamente. Por esta razón los pueblos de lengua inglesa se mostraron reacios a la adopción del sistema decimal, prefiriendo el número 12 al 10, por tener más divisores. El cálculo con fracciones ordinarias tiene especial interés en Inglaterra, donde la gente del pueblo alcanza ágil destreza mental para el manejo de chelines y peniques, de pulgadas y de líneas, pero también es necesario en todos los países. Cuando se trata de medir un segmento tal como AB con una unidad u, se observa que u está contenida algo más que dos veces. Si consideramos en lugar de u, su mitad, tampoco logramos que un número exacto de esas mitades esté contenido en AB; pero consideremos la tercera parte de u que designaremos con u'; resultará que u' está contenido siete veces en AB.
Entonces podemos escribir: AB = 7u' y u = 3u'. El par de números 7 y 3 determinan perfectamente el segmento AB y suele escribirse en la forma de fracción: 7/3. La medida AB con respecto a u se dice que es igual a 7/3, símbolo de un ente aritmético nuevo que se llama número fraccionario. En general las fracciones se escriben a/b, recibiendo a el nombre de numerador y b el de denominador. Con los números fraccionarios, al igual que lo que pasaba con los números naturales, se opera de acuerdo a ciertas leyes de la Aritmética con prescindencia del significado concreto que puede haber originado esos números, y de las fracciones que se adopten para representarlos.

domingo, 26 de abril de 2015

MATEMATICA - Fracciones decimales y ordinarias

COMPLICACION Y SIMPLIFICACION DE FRACCIONES
En el ejemplo anterior podía haberse medido el segmento AB con u", que es igual a la mitad de u'. En ese caso habría resultado: AB = 14u" y u = 6u" Por consiguiente la medida de AB con respecto de u habría sido 14/6, que lógicamente debe ser una expresión equivalente a 7/3, es decir: ambas fracciones representan el mismo número y se dicen iguales.
REGLA GENERAL: Si los términos de una fracción se multiplican por un mismo factor, ambas fracciones representan el mismo número y se llaman iguales.
Esta complicación de los términos de la fracción será útil, como observaremos, para comparar fracciones, pero en general conviene la simplificación, o sea la supresión de factores comunes, hasta que resulten primos entre sí y entonces se ha reducido la fracción a su más simple expresión y se llama irreductible.Esta simplificación es muy útil en los cálculos comerciales.
COMPARACION DE FRACCIONES
Para comparar dos fracciones tales como 14/6 y 21/9 basta multiplicar los términos de cada una por el denominador de la otra. Esta operación se llama reducción a común denominador:
Luego son iguales. En general: dos fracciones que representan el mismo número se dicen iguales y se escribe:
a/b = c/d si ad = bc
Análogamente resultan las relaciones de desigualdad:
a/b < c/d si ad < bc
a/b > c/d si ad > bc

sábado, 25 de abril de 2015

ARITMETICA - Potencias y raíces

EL NUMERO DE GRANOS DE ARENA CONTENIDOS EN LA ESFERA CELESTE SEGUN ARQUÍMEDES
Todo lo admirable que es la construcción griega de la Aritmética y la Geometría, es de deficiente su matemática práctica y en particular su numeración; ya hemos visto que antes de Arquímedes no podrían pasar del número 9.999, a causa de no haber ideado el valor relativo ni el cero. Pero el genial Arquímedes ideó una forma de expresar un número infinitamente mayor que el de las arenas del desierto. En el Arenario dice Arquímedes en su carta al rey Gelón, que si bien hay quienes piensan que "el número de granos de arena es infinito" él afirma que es finito y que además se puede determinar, incluso considerando no sólo las arenas de Siracusa, sino todas las arenas que podrían llenar la esfera que se extiende hasta las estrellas fijas. Ese número, según Arquímedes, es menor que mil miríadas de unidades de octava clase. Aclaremos estos nombres: miríada significa 10.000, número que toma como base. A la miríada de unidades (es decir 10°) la denomina octava o unidad de segunda clase. En esta forma las unidades de octava clase serían con notación actual (10(8)7= 10(56). De modo que el número de Arquímedes "mil unidades de octava clase" sería 10³.10(4) .10(56) = 10(63). Para llegar a este resultado, Arquímedes supone "una esfera del tamaño atribuido por Aristarco a la esfera de las estrellas fijas" o sea un radio 10.000 veces mayor que el radio de la Tierra.

viernes, 24 de abril de 2015

MATEMATICA - Medidas circulares y angulares

MEDIDA NATURAL DE ARCOS Y ANGULOS
La longitud de un arco correspondiente a un ángulo de a° es proporcional al ángulo a. Por consiguiente se puede escribir la proporción:
360° / 2 p r = a° / arco
Luego:
arco = p r a° / 180°
La razón de dos arcos del mismo ángulo a será:
arco AB / arco A'B' = r/r'
Es decir, los arcos son proporcionales a los radios.
Si comparamos ahora cada arco con su respectivo radio, se tiene:
Long. arco de a° / r = p a° / 180
Luego para un mismo ángulo a la razón entre las longitudes de dos arcos centrales cualesquiera AB, A'B', ..., y los radios correspondientes OA, OA', ..., es constante. Este número abstracto que es la medida de la longitud del arco con el radio, se toma como medida del ángulo. Es la única medida de ángulo usada en Análisis matemático, pues carece de la arbitrariedad que tienen las otras medidas.

jueves, 23 de abril de 2015

MATEMATICA - Medidas circulares y angulares

LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA Y AREA DEL CIRCULO
Si sobre un objeto circular, cualquiera que sea su tamaño, adaptamos un hilo igual al diámetro, veremos que siempre está contenido 3 veces y sobra 1/7 aproximadamente. Esta razón constante entre la longitud de la circunferencia c y la longitud del diámetro d se designa con la letra griega p (pi) es decir c/d = p, o sea c = p.d. El valor de p se puede hallar experimentalmente, por métodos más exactos que el hilo arrollado, pero el resultado así logrado es sólo aproximado. Los matemáticos han ideado procedimientos rigurosos para hallar el valor exacto de p. Siguiendo las huellas de Arquímedes, quien calculaba la longitud de la circunferencia como límite de los perímetros de los polígonos regulares inscritos en la circunferencia, se ha determinado el valor de p, dando su expresión decimal con tantas cifras como se quiera. Las primeras cifras son:
p = 3,141592653...
Para los cálculos corrientes es suficiente emplear 3 1/7 o bien 3,14, y para los cálculos precisos, 3,1416. Para calcular el área del círculo nada mejor que considerar el círculo dividido en un cierto número de sectores que se pueden disponer como indica la figura.
Tomando cada vez menores tales sectores, la figura se va aproximando a un rectángulo cuya altura es el radio y su base el desarrollo de la semicircunferencia. Se define, pues, como área del círculo, el área de un rectángulo que tiene como base la semicircunferencia rectificada y como altura el radio. Como la semicircunferencia mide: p . r, el área del círculo será:
A = p . r . r = p . r²

miércoles, 22 de abril de 2015

MATEMATICA - Medidas circulares y angulares

EXCESO ANGULAR Y AREA DE HUSOS Y TRIANGULOS
Adoptemos como unidad de ángulos el recto y como unidad de área la del triángulo esférico trirrectángulo. Dos planos a y ß que pasan por un diámetro de una esfera determinan dos husos esféricos que sumados completan la superficie esférica. Como hay proporcionalidad entre los ángulos diedros y las áreas de los husos; y al ángulo recto corresponde el huso recto de área 2, resulta: El área de un huso es el doble de la medida de su ángulo.
Los tres lados de un triángulo ABC forman tres husos de ángulos A, B, C. Estos tres husos componen toda la semiesfera, cubriendo además el triángulo ABC y su simétrico A'B'C', que tiene la misma área.
Por consiguiente: Area huso A + área huso B + área huso C = 2 área ABC + 4
Y en virtud de la propiedad que acabamos de probar:
2A + 2B + 2C = 2 . área ABC + 4 A + B + C = área ABC + 2
Consecuencia 1: La suma de los ángulos de todo triángulo esférico es mayor que dos rectos. La diferencia se llama exceso angular:
E = A + B + C — 2
Consecuencia 2: El área de todo triángulo esférico es igual a su exceso angular.
Si se adoptan otras unidades, es claro que aparecerá un factor de proporcionalidad.

martes, 21 de abril de 2015

MATEMATICA - Medidas circulares y angulares

EL CALCULO DEL NUMERO p EN LA HISTORIA
En el libro de los Reyes, I, cap. 7, se lee: "Hizo asimismo un mar de fundición, de diez codos de un lado al otro, perfectamente redondo: su altura era de cinco codos y ceñíalo alrededor un cordón de treinta codos." La razón entre la circunferencia (30) y el diámetro (10) resulta ser 3, valor muy poco aproximado de p. Desde los judíos de aquella época hasta Einstein, se ha progresado bastante...
LOS VALORES OPTIMOS El valor de Arquímedes no sólo es excelente, es el mejor posible dentro de su sencillez:
3 1/7 = 3,142…
De igual modo que lo es el del romano Adriano Metio:
355 /113 = 3,141592...
Estos valores pueden deducirse de la expresión siguiente, llamada fracción continua:
Si se limita en el 7, omitiendo la parte inferior, resulta el valor de Arquímedes; limitada en el 15 resulta 333/106 y llegando al 1 vale 355/113. Todos estos valores son óptimos, es decir, cualquier otra fracción más aproximada debe tener mayor denominador.
Otra fórmula para calcular p es la Serie de Gregory:
Cuantos más términos se toman, se logra mejor aproximación, pero tan lentamente que se precisarían 500 términos para tener exactas las milésimas. Por esta deficiencia práctica esta bella serie fue sustituida por otra menos elegante de Machin:
Con los términos escritos resultan las cifras exactas 3,14159.

lunes, 20 de abril de 2015

MATEMATICA - Medidas circulares y angulares

AREAS Y VOLUMENES DE CUERPOS REDONDOS
Los cilindros, conos y troncos de cono son superficies desarrollables, es decir que se pueden extender sobre un plano. Las áreas laterales y totales se calculan muy fácilmente recordando las fórmulas de la longitud de la circunferencia y de la superficie del círculo. Para hallar los volúmenes debemos recurrir al principio de Cavalieri, y como en él no se hacía cuestión si la sección debía estar limitada por rectas o curvas, todas las fórmulas de prismas, pirámides y troncos se extienden sin dificultad por analogía con la de los cilindros, conos y troncos de cono respectivamente. El cuerpo que presenta mayor dificultad es la esfera, por no ser desarrollable en el plano. Se demuestra que el área de la esfera es igual a cuatro veces el área del círculo máximo, es decir:
A = 4 p r²
Intuitivamente podemos calcular el volumen de la esfera descomponiéndola en muchos cuerpos elementales "casi prismáticos", mediante planos que pasan por el centro.
Como el volumen de cada una es un tercio del área de la base por la altura, y la altura de estos elementos es común e igual al radio, se podrá separar como factor común de la suma de las bases, que en conjunto forman la superficie esférica. Así resulta:
Volumen de la esfera = 1/3 . r . área sup. esférica = 1/3 . r .4 p r² = 4/3 p r²
El genial Arquímedes estaba tan orgulloso de sus descubrimientos sobre cubicación de las figuras esféricas, que dispuso se grabara en su tumba la figura que recuerda la siguiente relación por él descubierta: El volumen de la esfera es igual al del cilindro circunscrito menos el del cono de igual base y altura.
Gracias a esta figura mágica que condensa gran cantidad del pensamiento griego, pudo Cicerón encontrar la tumba del inmortal siracusano.

domingo, 19 de abril de 2015

MATEMATICA – Geometría esférica

GEOMETRIA ESFERICA. ANALOGÍA CON LA DEL PLANO
Dos puntos cualesquiera A y B de la superficie esférica determinan, con el centro O, un plano que corta a la superficie esférica en una circunferencia máxima; y en ella A y B determinan dos arcos, que sumados completan la circunferencia; elegiremos siempre el que es menor que 180° (se exceptúa el caso en que A y B estén alineados con O, es decir, cuando son diametralmente opuestos como A y A' en la figura) en cuyo caso los dos arcos son iguales.
Con una regla muy estrecha y flexible que se adapte bien sobre la esfera y un compás de brazos largos (mejor si son curvos) se pueden efectuar sobre la superficie casi todas las construcciones de la Geometría plana: arco máximo por dos puntos, circunferencia de centro y radio dados, mediatrices de AB, perpendicular a AB en uno de sus puntos o desde un punto exterior; etc. Los arcos de circunferencia máxima son las rectas en esta Geometría y la analogía con la del plano parece completa. En particular, dados tres puntos A, B, C, si el punto C no está sobre la circunferencia AB, los puntos A, B, C determinan tres arcos a, b, c, que forman una figura llamada triángulo esférico. Los arcos a, b, c, se llaman lados. Los ángulos que forman estos lados se llaman ángulos del triángulo y se designan: A, B, C. Como son ángulos de lados curvos, su medida está dada por la de los ángulos planos formados por las tangentes a estas curvas. Puede imaginarse que sobre una superficie esférica fija existe otra superpuesta, exactamente igual, pero móvil. Entonces toda figura de la superficie puede desplazarse sobre ella tal como sucedía con las figuras del plano, y dos figuras se llaman iguales cuando pueden superponerse.

sábado, 18 de abril de 2015

MATEMATICA – Triángulos

CLASIFICACION DE LOS TRIANGULOS Señalando tres puntos A, B, C en un plano quedan determinados tres ángulos convexos, y la figura formada por los puntos comunes a los tres ángulos se llama triángulo. Se acostumbra a designar a los lados opuestos a los ángulos con las mismas letras, pero minúsculas: a, b, c. Estos tres lados pueden ser iguales, dos iguales y uno desigual, o los tres desiguales. Los nombres que reciben los triángulos son: equilátero, isósceles y escaleno, respectivamente.
Los ángulos de un triángulo pueden ser los tres agudos, uno recto y dos agudos, y uno obtuso y dos agudos. Los nombres que reciben son: acutángulo, rectángulo y obtusángulo.

viernes, 17 de abril de 2015

MATEMATICA - Trigonometría rectilínea y esférica

TRIANGULO DE POSICIÓN
El triángulo esférico PZS (polo, cenit, astro) de la esfera celeste tiene los siguientes lados y ángulos:
ZP = 90° — f, es la colatitud (la latitud f está determinada por la vertical ZO del lugar y el ecuador) SP = 90° — d, es la distancia del astro S al polo P (siendo d la declinación del astro S) SZ = 90° —h, es la distancia cenital del astro, siendo h la altura del astro sobre el horizonte.
Además el ángulo en P formado por el meridiano ZPH'E' del lugar con el círculo horario PSS„ del astro S, es el ángulo horario t del astro, y el ángulo en Z, es el acimut A del astro.
Aplicando fórmulas de Trigonometría esférica podemos resolver problemas astronómicos tales como: 1) Calcular la declinación y el ángulo horario de un astro conociendo su altura y acimut. 2) Calcular la altura y acimut de un astro conociendo su declinación y ángulo horario. Y muchos otros.

jueves, 16 de abril de 2015

MATEMATICA - Trigonometría rectilínea y esférica

TEOREMA DE LAS TANGENTES
Deduciremos ahora el teorema de las tangentes, con lo cual podremos obtener fórmulas logarítmicas para resolver el caso IV y que nos servirá también para repasar algunos teoremas de geometría elemental.
En el triángulo ABC hemos hecho varias construcciones gráficas que aparecen en el dibujo. El haber trazado con centro C y radio CA una semicircunferencia nos asegura que el ángulo MAN es recto y por ser ? exterior al triángulo isósceles ACN, cada uno de los ángulos de ACN debe valer ?/2. Siendo el ángulo NMA complemento de ?/2 debe valer precisamente (a+ß)/2. Además el ángulo MAB interior del triángulo MAB, debe ser igual a la diferencia entre el exterior (a+ß)/2 y el ángulo ß, por consiguiente es igual a (a—ß)/2. Recordando las proporciones que se establecen entre segmentos cortados por paralelas se verifica:
Es decir:
Que nos permite resolver el caso IV, puesto que en él al conocer un ángulo se conoce la suma de los otros dos, y la diferencia de los mismos se puede calcular mediante esta fórmula. Conociendo la suma y diferencia de dos ángulos, cada uno de ellos es igual a la semisuma o semidiferencia de esos valores.

miércoles, 15 de abril de 2015

MATEMATICA - Trigonometría rectilínea y esférica

RESOLUCION DE TRIANGULOS RECTANGULOS
La simple aplicación de las definiciones de seno, coseno y tangente de un ángulo permiten resolver todos los casos que se pueden presentar en la resolución de cualquier triángulo rectángulo:

martes, 14 de abril de 2015

MATEMATICA - Trigonometría rectilínea y esférica

RESOLUCION DE TRIANGULOS OBLICUANGULOS
Si el triángulo no es rectángulo se pueden presentar diversos casos:
DEMOSTRACION DE LAS FORMULAS DEL CUADRO: Hemos dibujado los tres casos típicos que pueden presentarse. Al trazar la altura h desde el vértice B, el punto P determina dos segmentos p y q.
Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo APB de la primera figura se tiene:
a² = h² + q² = h² + (b — p) ²
Y por ser h el cateto del triángulo BPC es:
h² = c² — p²
Luego:
a² = h² + q² = c² — p² + (b — p) ² = c² + b² —2bp
Pero en la primera figura:
p = c . cos a
Luego en ese caso se verifica el teorema del coseno:
a² = b² + c² + 2bc . cos a
Todo subsiste para la segunda figura, y la circunstancia de que en este caso es q = p—b en lugar de ser q = b—p, no cambia la fórmula, pues esa diferencia aparece en la demostración elevada al B cuadrado. Para la tercera figura en cambio es q = b + p y por consiguiente resulta:
a² = h² + q² = c² — p² + (b + p) ² = c² + b² + 2bp
Pero en esa figura vemos que siendo a obtuso, es cos a negativo:
cos a = —cos BAP
Y como:
p = c . cos BAP
Resulta:
p = — c cos a
Con lo cual sigue siendo válida la fórmula del teorema del coseno.
En los otros casos se vuelve a encontrar el teorema de Pitágoras; por eso se llama también teorema generalizado de Pitágoras. Es evidente que si en lugar de trazar la altura del vértice B, lo hacemos desde A o C, obtenemos otras dos fórmulas análogas:
b² = a² + c² + 2ac . cos ß c² = a² + b² + 2ab . cos ?
En el IV caso de la tabla es esta última la fórmula que se aplica y en el caso I son las tres en las que se ha despejado el valor del coseno. Además, como el seno de un ángulo es igual al seno del complementario, vale en los tres casos:
h = c sen a = a sen ?
Y por consiguiente:
a/sen a = c/sen ?
Como lo mismo se puede repetir para otra altura, se obtiene el teorema del seno:
a/sen a = b/sen ß = c/sen ?
Que es el que se emplea en los casos II, III.

lunes, 13 de abril de 2015

MATEMATICA - Trigonometría rectilínea y esférica

FORMULAS LOGARITMICAS
Con los casos que hemos considerado se pueden resolver todos los problemas relativos a los triángulos. Si se dispone de máquinas de calcular o de tablas de cuadrados y productos, las operaciones no presentan dificultad alguna, pero si se carece de ellas conviene conocer fórmulas logarítmicas, esto es fórmulas que por carecer de sumas y restas son particularmente accesibles al cálculo con logaritmos. Ya en el caso I de los triángulos oblicuángulos nos encontramos con fórmulas no logarítmicas. Para transformarlas deberemos hacer una serie de operaciones algebraicas. Como:
cos a = (b² + c² — a²) / 2bc
Resulta:
1 — cos a = [2bc — (b² + c² — a²)] / 2bc
Que se puede escribir, aplicando el desarrollo del cuadrado de una diferencia:
Siendo la diferencia de los cuadrados de dos números es igual a la suma por la diferencia de esos números y por consiguiente resulta:
1 — cos a = (a + b — c) (a — b + c) / 2bc
Procediendo en la misma forma tendríamos:
Podemos dar a estas dos expresiones forma más sencilla designando con la letra p al semiperímetro:
a + b + c = 2p
Si en ambos miembros de esta igualdad restamos 2c obtenemos esta otra igualdad:
a + b — c = 2p — 2c = 2 . (p — c)
Análogamente:
a — b + c = —2 . (p — b) b + c — a = 2 . (p — a)
En esta forma las fórmulas anteriores pueden escribirse:
1 — cos a = 2 (p—c) (p—b) / bc
1 + cos a = 2 . p (p—a) / bc
Multiplicando ordenadamente estas igualdades por ser:
sen² a = 1— cos² a
Resulta:
sen² a = 4p (p—a) (p—b) (p—c) / b² c²
Y extrayendo la raíz cuadrada obtenemos finalmente la fórmula logarítmica:
sen a = (2/bc) v p (p—a) (p—b) (p—c)
Y otras dos expresiones análogas para determinar ß y ?. En esta forma también se obtiene el área, pues:
Area = ½ b c sen a v= p (p —a) (p — b) (p— c)
Utilísima expresión conocida con el nombre de fórmula de Herón.
Se puede llegar a expresiones logarítmicas aun más simples para resolver el caso I, y que nos limitaremos a consignar:
cos a/2 = v p (p —a) / bc
cos ß/2 = v p (p —b) / ac
cos ?/2 = v p (p —c) / ab

domingo, 12 de abril de 2015

MATEMATICA - Trigonometría rectilínea y esférica

DEFINICIONES TRIGONOMETRIA ESFERICA
Consideraremos triángulos esféricos, cuyos tres lados son arcos de circunferencias máximas. Los ángulos del triángulo se miden mediante los ángulos planos formados por las tangentes, y los lados se miden por los ángulos centrales correspondientes a esos lados.
Hay una serie de teoremas análogos a los de trigonometría plana que nos limitaremos a enunciar con vistas a resolver problemas de astronomía.
Designando con:
p = (a + b + c) / 2
S = (a + ß + ?) / 2
Se tiene las siguientes fórmulas:
1) Teorema del coseno para los lados:
cos a = cos b cos c + sen b sen c cos a
2) Teorema del seno:
sen a/sen a = sen b/sen ß = sen c/sen ?
3) Teorema del coseno para los ángulos:
cos a = —cos ß cos ? + sen ß sen ? cos a
4) Teorema que relaciona tres lados y dos ángulos:
cos a sen b = sen a cos b cos ? + sen c cos a
5) Teorema que relaciona tres ángulos y dos lados:
cos a sen ? = —sen a cos ? cos b + sen ß cos a
A fin de que se tenga una idea de las demostraciones, deduciremos la primera de estas fórmulas:
Sea ABC un triángulo esférico y por un punto P de OA trazamos el plano p perpendicular a OA, de modo que la intersección de Ir con el triedro de vértice O es el triángulo PST, siendo el ángulo P igual a a. En virtud del teorema del coseno de Trigonometría plana, aplicado sucesivamente a los triángulos OST y PST se tiene:
ST² = OS² + OT² —2 OS OT cos a = PS² + PT² —2 PS PT cos a
Y como por el teorema de Pitágoras es:
OS² = OP² + PS² OT² = OP² + PT²
Resulta:
cos a = (OP/OS) (OP/OT) + (PS/OS) (PT/OT) cos a
Y las razones que aparecen en esta fórmula son precisamente cos c, cos b, sen c, sen b. Luego:
cos a = cos b cos c + sen b sen c cos a

sábado, 11 de abril de 2015

MATEMATICA - Areas y volúmenes

AREA DE UN POLIGONO REGULAR
Si el polígono es regular, al trazar sus radios, resultará dividido en triángulos iguales. Calculando el área de uno de estos triángulos, bastará multiplicarla por el número de lados. Si l es el lado de un polígono de n lados y a la altura del triángulo (o sea la apotema del polígono) la fórmula es:
Area = ½ n . l . a
El producto n.l se llama perímetro, luego el área de un polígono regular es igual al producto del semiperímetro por la apotema.
AREAS DE FIGURAS PLANAS
Ya que conociendo el lado de un polígono regular, se conoce la apotema y recíprocamente, podemos construir otra tabla que permite calcular el área de un polígono regular conociendo alguno de sus elementos (lado l, radio r o apotema a).

viernes, 10 de abril de 2015

MATEMATICA - Geografía matemática

HORIZONTALIDAD, VERTICALIDAD Y GEOIDE
La Geografía y la Topografía plantean problemas geométricos que forman parte de la cultura general. Por lo pronto nos obligan a precisar ciertas nociones usuales que resultan inconsistentes apenas se analizan. Así, por ejemplo, suele definirse: "Plano horizontal es el de la superficie del agua de un recipiente en reposo", y algunos topógrafos creen que las cotas o alturas de cada país se refieren al plano horizontal que pasa por el punto adoptado como origen. La verdad es más complicada: cada plano es horizontal en un punto; ese plano de la superficie del agua que suponemos prolongada indefinidamente, sólo es horizontal en el punto donde está el recipiente; lejos de él, es plano inclinado y su inclinación crece con la distancia.
En realidad no hay planos horizontales: hay superficies horizontales o superficies de nivel llamadas geoides. La dirección perpendicular al geoide en cada punto se llama vertical y viene dada por la plomada. Dos verticales muy próximas son sensiblemente paralelas. El geoide sería la superficie de las aguas tranquilas del mar si no hubiera continentes. Por causa de éstos, los océanos tienen niveles diferentes y las mareas complican el problema. ¿Cómo efectuar la prolongación de un mar a través de las tierras? Se podría ir colocando pequeños vasos de agua, unos a continuación de otros de modo que la visual sobre cada uno tocase la superficie del contiguo y así tendríamos un mar fragmentado o geoide. Partiendo de otra altura construiríamos otros geoides y cada geoide tendría un número que es su cota o nivel. La diferencia de nivel entre dos puntos del globo es la diferencia de cotas de los geoides que pasan por ellos. La construcción a trozos de ese mar artificial se llama nivelación. En lugar de colocar contiguos los pequeños recipientes, trabajo que sería ímprobo, se sitúan distanciados, pero no mucho, pues cada milla de distancia ocasiona 1' de error; en vez de subir o bajar cada uno hasta nivelarlo con otro, se usan las miras o reglas graduadas, como ahora veremos: en vez de vasos de agua se usan niveles que en esencia son la misma cosa.
El nivel de agua tiene dos vasos comunicantes en lugar de un gran vaso; el de burbuja tiene una pequeña cantidad de líquido en un tubo ligeramente encorvado.
La diferencia de nivel entre los puntos A y B se efectúa como indica la figura. Mirando con el anteojo provisto de nivel a las dos miras colocadas en A y B, si una lectura es por ejemplo a = 49 cm y otra b = 1,51 m la conclusión es que la diferencia de nivel entre A y B es 1,02 m.
La forma de los geoides es complicada, aunque aproximadamente esférica: pero la forma esferoidal de la tierra y la heterogeneidad de su masa produce esa discrepancia. Determinar la forma del geoide es problema de la Geodesia, ciencia difícil y costosa. Para estudios generales se suponen superficies esféricas, simplificando así radicalmente los problemas.

jueves, 9 de abril de 2015

MATEMATICA - Geometría proyectiva elemental

LA POLARIDAD RESPECTO DE LAS CONICAS
Dados una cónica y un punto Y (polo), aplíquese la construcción de las cuaternas armónicas a los diversos pares M, N, producidos por las secantes trazadas por Y; los infinitos conjugados armónicos X están en una recta que se llama polar de Y. Las intersecciones con la cónica dan los puntos de contacto de las tangentes trazadas por Y. Si Y es el centro de la cónica, su polar es la recta impropia; tenemos así una definición del centro como polo de la recta impropia.

miércoles, 8 de abril de 2015

MATEMATICA - Geometría proyectiva elemental

GENERALIZACION DE PUNTOS, ANGULOS Y TRIANGULOS
Los geómetras aman la simetría y desde tiempo pretérito veían con disgusto muchas faltas de simetría en el edificio geométrico. Así, por ejemplo, hay gran analogía entre la serie formada por los puntos de una recta y el haz de rectas que pasan por un punto (llamadas rayos del haz).
Pero afean esta analogía excepciones como éstas:
Serie de puntos: Dos puntos de una recta determinan un solo segmento que tiene esos extremos. Cada punto divide a la recta. Dos puntos cualesquiera determinan una recta.
Haz de rayos: Dos rayos de un haz determinan cuatro ángulos y dos semirrectas determinan dos ángulos. Cada rayo no divide al haz. Dos rectas no paralelas determinan un punto.
Estas asimetrías y casos de excepción indujeron al francés Poncelet y a los alemanes Steiner y Staudt a generalizar los conceptos introduciendo puntos y rectas impropios, para lograr la simetría y evitar las excepciones. Es el método seguido por todas las ciencias, que alcanzan la sencillez mediante la complicación. Veamos cómo se logra esto muy fácilmente.
Cortemos el haz S por la secante s; numerando con 1, 2, 3,... los rayos y sus correspondientes puntos; al recorrer el haz un rayo móvil, el punto móvil recorrerá la recta, pero con discontinuidad, pues primero avanza hacia la derecha sin fin y de un salto reaparece por la izquierda. Este salto y la ausencia de punto correspondiente al rayo 3, paralelo a s, se salvan con este convenio: dos rectas paralelas tienen común un punto impropio; la recta así completada con ese punto impropio es cerrada y al pasar por él reaparece el punto por el lado opuesto. Con este convenio se logra la perfecta correlación entre serie y haz:
Dos puntos cualesquiera determinan una recta. Ningún punto divide a la recta. Dos puntos dividen a la recta en dos segmentos.
Dos rectas cualesquiera determinan un punto. Ningún rayo divide al haz. Dos rayos dividen al haz en dos ángulos.
En la figura que sigue salta a la vista la correspondencia entre segmentos y ángulos, pero nótese que son ángulos completos (uno de ellos está rayado) y las dos partes que en Geometría elemental se llaman ángulos están unidas por los puntos impropios o direcciones intermedias entre los puntos impropios a y ß.
Cada una de estas dos partes que forman un ángulo compuesto (por ejemplo el II), son en Geometría proyectiva triángulos con un lado impropio. La palabra ángulo en Geometría proyectiva significa siempre ángulo completo y no será preciso repetirlo. Hay triángulos de formas todavía más extravagantes. En efecto, de igual modo que hemos definido los ángulos como las dos partes en que dos rectas dividen al plano, diremos triángulos a las dos partes en que una secante divide al ángulo. El plano se compone, pues, de 4 triángulos.
El principiante se extrañará de que se llame triángulo a esa figura extraña como II (cuyo contorno formado por un segmento finito y dos infinitos se ha reforzado en el dibujo), pero si proyecta a II desde un punto S exterior al plano, resulta un triedro que nada tiene de extraño, de igual modo que el que se obtiene proyectando desde el mismo punto el I.

martes, 7 de abril de 2015

MATEMATICA - Geometría proyectiva elemental

LAS CUATERNAS ARMONICAS
La Geometría elemental distingue diversos tipos de cuadriláteros o cuadrivértices; en Geometría proyectiva hay un solo tipo de cuadriláteros y un solo tipo de cuadrivértices. Cuatro puntos A, B, C, D tales que cada tres no están alineados, forman un cuadrivértice y las seis rectas que los unen dos a dos son sus lados; las intersecciones de lados, distintas de los vértices, son los tres puntos diagonales M, N, P.
Dado el par de puntos M, N„ si se construye un cuadrivértice con estos puntos diagonales, el tercer par de lados determina sobre la recta MN un par XY que se llama armónico respecto del MN, o armónicamente separados por M y N. Dado X, su conjugado Y se construye mediante un cuadrivértice ABCD, como indica la figura, sin más instrumento que la regla; si se adopta otro cuadrivértice A'B'C'D' (como el dibujado de trazos) resulta el mismo Y. Se trata, pues, de una relación intrínseca independiente de la figura auxiliar, como resulta con método geométrico puro muy sencillamente, o bien con cálculo algo largo; escribiendo las ecuaciones de las rectas se llega a este resultado: Si se adopta X como origen, las abscisas m, n de los puntos M, N están ligadas así:
2/y = 1/m + 1/n
(y se llama medio armónico de m y n).
Puesto que la definición de la cuaterna armónica se basa en las relaciones estar en y pasar por, que se conservan al proyectar un plano sobre otro, resulta que un cuadrivértice completo se proyecta según otro, y una cuaterna armónica se proyecta según otra cuaterna armónica. Veamos algunos casos sencillos. Si A es impropio (por ejemplo la dirección perpendicular a la recta) y X es el punto medio de MN, salta a la vista que Y es el punto impropio de la recta. Si X es cualquiera y elegimos P, Q simétricos respecto de N, es armónica la cuaterna APNQ y basta trazar QX hasta cortar en S a la recta paralela: la proyección desde S da la cuaterna MXNY.
MX/NX = MS/NQ = —MS/NP = —MY/NY
Es decir: La razón de distancias a los puntos M, N desde dos conjugados armónicos son iguales y de signo contrario.

lunes, 6 de abril de 2015

MATEMATICA - Geometría proyectiva elemental

CONSTRUCCION DE CONICAS CON LA REGLA
Tómese una serie de puntos y proyéctese desde dos vértices S, S'; los dos haces así relacionados a b c... y a' b' c'… se llaman perspectivas. Series perspectivas son las secciones de un mismo haz.
Partiendo de una figura, serie o haz, aplíquense sucesivamente proyecciones y secciones; todas las figuras así relacionadas por una cadena de perspectividades se llaman proyectivas. Tómense dos haces proyectivos S y S; si están en posición perspectiva engendran una recta (figura de la izquierda): en el caso general, es decir cuando los rayos correspondientes aa', bb', cc',  ..., no se corten en puntos de una misma recta, engendran una cónica. Análogamente dos series proyectivas engendran una cónica como envolvente de tangentes: constrúyanse dos escalas con unidades cualesquiera, con la sola condición de que el punto común no tenga el mismo número en ambas y con la regla trácense las rectas que unen puntos de igual índice. Estas envuelven una parábola.
Proyéctense las dos series (aun sin la preocupación anterior) desde dos puntos cualesquiera exteriores. Los dos haces engendrarán una cónica. En el dibujo ha resultado una hipérbola; cámbiese la posición de los vértices V y V' y resultarán elipses, parábolas o un par de rectas.

domingo, 5 de abril de 2015

MATEMATICA - Areas y volúmenes

AREA DE CUERPOS POLIEDROS
Siendo las caras de los cuerpos poliedros, polígonos, se puede calcular fácilmente las áreas laterales y totales (es decir, considerando también las áreas de las bases). La inspección de las diferentes figuras nos dice:
PRISMA: El desarrollo del prisma recto es un rectángulo cuya base es la suma de los lados del polígono que sirve de base y cuya altura es la del cuerpo; luego:
Area lateral del prisma = Perímetro de la base x altura Area total = Area lateral + Area de las 2 bases
PIRAMIDE: La pirámide regular desarrollada está constituida por varios triángulos iguales cuya altura es la apotema de la pirámide. Luego:
Area lateral de la pirámide = ½ Perímetro de la base x Apotema Area total = Area lateral + Area base
TRONCO DE PIRAMIDE: El desarrollo está constituido por varios trapecios. Recordando la fórmula que da su área resulta:
Area lateral = (½ Perímetro base mayor + ½ Perímetro base menor) x Apotema Area total = Area lateral + Area base mayor +Area base menor

sábado, 4 de abril de 2015

MATEMATICA - Geografía matemática

COORDENADAS GEOGRAFICAS
En lo sucesivo la superficie de la tierra será asimilada a una superficie esférica prescindiendo de su achatamiento. El hilo de una plomada da la vertical deun lugar. La dirección superior de esta vertical se llama cenit y la opuesta, nadir.
Las rectas verticales concurren en el centro O. Hemos designado en la figura con PN y PS el polo norte y el polo sur respectivamente. El plano perpendicular a la línea de los polos es el ecuador y el ángulo f que forma la vertical con EE' se llama latitud del lugar. La latitud se mide de 0° a 90° a partir del ecuador. Las semicircunferencias que tienen como diámetro la línea de los polos se llaman meridianos y las circunferencias que resultan de cortar la esfera con planos paralelos al ecuador se llaman paralelos.
Para ubicar los puntos de la superficie terrestre se acostumbra dar además de la latitud f, ángulo de la vertical del lugar A con el ecuador, la longitud ?, ángulo diedro que forma el meridiano del lugar A con otro que se toma como origen y se mide de 0° a 180° hacia el Este (longitud oriental) o hacia el Oeste (longitud occidental). Se adopta en todo el mundo como meridiano de origen el que pasa por el observatorio de Greenwich, cerca de Londres. En la figura hemos representado a Greenwich con G y hemos señalado el rectilíneo correspondiente a la longitud de A.

viernes, 3 de abril de 2015

MATEMATICA - Geografía matemática

CARTAS GEOGRAFICAS: PROYECCION DE MERCATOR O LOXODROMICA
Cuando un navío marcha con rumbo fijo cortará evidentemente a los meridianos bajo el mismo ángulo. Pedro Núñez descubrió esta curva y la llamó rumbo: actualmente se la llama loxodrómica. Interesa, por consiguiente, para la navegación contar con un sistema de representación que haga aparecer a las loxodrómicas como líneas rectas. Esto es lo que logró Mercator con su sistema, en el cual los meridianos equidistantes son rectas paralelas equidistantes y los paralelos son rectas paralelas cuya separación aumenta a medida que aumenta la distancia al ecuador. Para ir de un punto a otro utilizando este mapa habrá que ubicar los puntos en el mapa, trazar la recta, y tomar como rumbo el dado por esa recta. Este sistema es particularmente aconsejable para las regiones próximas al ecuador. Se demuestra que las ecuaciones de los paralelos y de los meridianos en este sistema son:
x = ? y = —ln tg (–f'/2)
siendo ? la longitud y f' la colatitud (complemento de la latitud f).
En el eje de las x hemos adoptado la escala 1 cm = 10° y en el eje de las y hay que considerar logaritmos basados en e llamados logaritmos neperianos. Para el ecuador (f = 0, f'= 90°) resulta tg 45° = 1, log 1 = 0; para el paralelo correspondiente a la latitud 30°, f' = 60°, tg 30° = 0,5774 y ln = ´1`,4507 = —0,5493. Así se obtiene la siguiente tabla con la que se construye el gráfico anterior:

jueves, 2 de abril de 2015

MATEMATICA - Geografía matemática

DEMOSTRACION DE LAS DOS PROPIEDADES DE LA PROYECCION ESTEREOGRAFICA
1) El plano ß tangente a la esfera en P es paralelo a a. Sea a' el plano tangente a la esfera en A' y llamemos i a la intersección de ß y a'.
Los dos planos tangentes ß y a' trazados por i son simétricos respecto del plano diametral que pasa por i; luego para todo par de puntos MN elegidos en i se verifica la igualdad de ángulos:
MPN = MA'N
Las rectas A'M y A'N son tangentes a la esfera en A' y los planos proyectantes desde P forman un diedro de arista PA'; su sección por a y por ß, que son planos paralelos, son ángulos iguales:
MPN = mAn
Luego:
MA'N = mAn.
Queda así probada la conservación de ángulos. De la simetría antedicha respecto del plano diametral iO resulta además que la tangente A'M forma con PA' ángulo igual que la tangente PM o su paralela Am. Es decir:
MA'A=mAA'
Luego no sólo se conservan los ángulos de las tangentes entre sí, sino también el ángulo de cada tangente con el rayo proyectante se conserva al proyectar; relación útil para demostrar la segunda propiedad.
2) Sea C' una circunferencia trazada sobre la esfera y que no pase por P. Los planos tangentes a la esfera por los diferentes puntos de C' forman un cono cuyo vértice es O'. Sea O la proyección de O', y sea A la proyección de un punto A' de la circunferencia C'.
En virtud de la conservación del ángulo de la tangente con el rayo proyectante son iguales los ángulos A'=A, luego trazando O'A"//OA, resulta isósceles A'O'A", o sea O'A" = g (generatriz del cono):
OA = O'A" . PO/PO' = constante
La curva proyección es por tanto la circunferencia de centro C y radio g . PO/PO'.

miércoles, 1 de abril de 2015

MATEMATICA - Topología elemental

EL TEOREMA DE EULER SOBRE LOS POLIEDROS ES TOPOLOGICO
Si un triángulo rectángulo se deforma transformándose en un triángulo no rectángulo, ya no vale el teorema de Pitágoras; si la circunferencia se alarga, convirtiéndose en elipse, cae por tierra el teorema de Tales, pues apenas si subsiste algo de él (simetría, convexidad), y si se deforma la elipse, ni siquiera esto se conserva. Hay en cambio un teorema relativo a los poliedros, que perdura aunque se deformen; es el teorema de Euler. La Geometría es la ciencia de las figuras rígidas, pero ese teorema de Euler pertenece a una especie de Geometría mucho más general, válido para figuras deformables y que se llama Topología. En lugar de los poliedros conocidos (prismas, pirámides y los cinco poliedros regulares) que por deformación se convierten en esferas (como se hincha una pelota de fútbol), consideremos poliedros anulares, que es un tetraedro cuyas cuatro caras son cuadriláteros.
Es decir, el "número de Euler" que para las superficies de tipo esférico valía 2, para éstas vale 0; y en cambio vale —2 para estos otros poliedros más complicados que en Topología son equivalentes entre sí, pues del uno al otro se pasa por deformación: