MATEMATICA - Magnitudes inconmensurables y números irracionales

GRADO DE PRECISION DE LAS MEDIDAS Y JERARQUIA ENTRE LAS CIENCIAS
Para medir una longitud, por ejemplo un segmento, hemos dicho que debemos compararlo con otra magnitud de la misma especie que se toma como unidad. Si U está contenido un número exacto p de veces en AB, ese número p será la medida de AB respecto de U. Si U no está contenido un número exacto de veces, debe tomarse la medida de U, la tercera parte, la cuarta parte, etc... , y si la parte U/n está contenida m veces en AB, decimos que la medida de AB respecto de U es m/n.
Para llegar a la medida de esta magnitud hemos supuesto dos cosas: 1) La divisibilidad indefinida de la unidad en cualquier número n de partes. 2) La posibilidad de llegar a coincidencia exacta con la magnitud AB mediante un cierto número m de esas partes alícuotas.
El primer supuesto, o sea la divisibilidad indefinida de las magnitudes, no se verifica en la realidad por la estructura molecular de la materia, que rompe la homogeneidad y la continuidad supuestas. Respecto de la segunda hipótesis, es de apreciación difícil cuando la unidad es muy pequeña; así, por ejemplo, en la medida de longitudes, aunque los extremos del segmento medido estén señalados con dos rayas finísimas, y nos sirvamos del ultramicroscopio para apreciar fracciones de milésimo de milímetro, la estructura molecular impide toda determinación más allá de la 7ª cifra decimal; y si se trata de medir grandes extensiones y utilizamos una cinta metálica, el error es del orden de los centésimos. En definitiva, la técnica usual no puede apreciar en sus medidas más de 7 cifras decimales exactas y, en general, se dice que una ciencia es tanto más perfecta cuanto mayor número de cifras exactas tienen los resultados que calcula. Después de la Matemática pura, que obtiene infinitas cifras y de la Aritmética financiera, que maneja números de cualquier número de cifras (la parte decimal sólo llega al centavo) la ciencia más exacta es la Astronomía, que calcula sus elementos hasta la 7ª cifra decimal; le siguen la Física (hasta 5 ó 6 cifras), la Química (3 ó 4 cifras); la Ingeniería, que es una aplicación de la Matemática y de la Física, calcula solamente con 2 ó 3 cifras por la indeterminación de muchos elementos que intervienen en sus problemas. Ahora bien, puesto que las unidades que sirven de datos a las ciencias de aplicación son números racionales de pocas cifras decimales, y es imposible alcanzar mayor aproximación, ¿no será posible edificar la Matemática con números enteros y fraccionarios exclusivamente? Si así fuera, todas las magnitudes serían conmensurables entre sí, vale decir, que dados, por ejemplo, dos segmentos cualesquiera, siempre existirán dos números enteros m y n tales que la medida del primer segmento con respecto al segundo sea m/n. Tal cosa no ocurre. Hay un ejemplo muy simple conocido desde hace más de 2.000 años que lo muestra con toda evidencia.