SUMA DE LOS ANGULOS DEL TRIANGULO Para sumar los ángulos de un triángulo ABC, dibujado sobre una hoja de papel, podemos doblarlo por la "línea MN de los puntos medios de dos lados hasta caer A sobre BC; después se doblan las dos puntas hasta hacerlas coincidir con A, y como componen un ángulo llano resulta: La suma de los ángulos de un triángulo es igual a dos ángulos rectos.
Esta manipulación empírica deja algunas dudas: ¿por qué el vértice A caerá exactamente sobre BC? ¿Por qué al doblar las dos puntas caerán precisamente sobre A? Veamos ahora la demostración de Euclides basada en el teorema de la igualdad de ángulos alternos internos.
Trazando por A la paralela al lado BC, quedan formados tres ángulos: ß, A, ?, que sumados constituyen un llano. Pero ß = B por ser ángulos alternos internos entre paralelas, y análogamente es ? = C, y por consiguiente:
A + B + C = 2R
Esta demostración de Euclides es sencillísima y mucho más convincente que el experimento del papel plegado; pero la crítica moderna encuentra en ella lagunas por llenar. 1) La paralela por A ¿será exterior al triángulo? Hay que probarlo, aunque se vea. 2) Es preciso apoyarse en un postulado o teorema anterior: "cada recta divide al plano en dos regiones", cosa que no sucede en otras geometrías. La propiedad de la suma de los ángulos del triángulo de ser igual a dos ángulos rectos, es característica de la geometría euclidiana y no se verifica, por ejemplo, en la superficie esférica. Gracias al teorema de la suma basta conocer dos ángulos para saber el tercero, y así se determina la paralaje anual de un astro; se llama así al ángulo que forman dos visuales dirigidas a él desde dos puntos diametralmente opuestos de la órbita terrestre. Medidos los ángulos en T y T' basta restarlos de 180° para tener la paralaje y deducir después la distancia al astro. La paralaje de la estrella a del Centauro, una de las dos más cercanas a nosotros, es 0”.8; son pocas las que tienen paralaje perceptible.
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