ARITMETICA - Los números y la numeración

EL MUNDO DE LOS NUMEROS
En casi todas las manifestaciones de la vida diaria utilizamos números. En la infancia hemos aprendido a hacer operaciones con ellos y nadie puede ejercer actividades en el mundo civilizado sin tener ciertos conocimientos de aritmética, suficientes para moverse sin tropiezos en ese mundo de los números. Y no encierra esta denominación una metáfora, sino una realidad; para los pitagóricos era la "única realidad" y el mundo material era ilusorio: "Las cosas son números". Para Platón el mundo de los números y el de las figuras existen como tantos otros mundos de ideas: la blancura, la pesantez, la bondad... Aunque nadie comulga hoy en estas filosofías, hay filósofos y matemáticos que conceden realidad al mundo de los números, incluso de aquellos números tan enormes que no están representados por conjuntos de cosas materiales; pero la mayoría comulga en la concepción aristotélica: los números son conceptos, esto es, entes mentales creados por nuestra inteligencia, mediante la operación llamada abstracción, para representar colecciones de cosas materiales o ideales, prescindiendo de su naturaleza y de su orden. La palabra o el símbolo 3 representa indistintamente tres niños, tres manzanas, tres mesas... En este carácter abstracto reside la amplísima generalidad de la Aritmética, la más pura de las ciencias. Por ejemplo, cuando se efectúa el producto 3 x 5, el resultado es 15, independientemente de que se trate de la venta de 3 metros de género a 5 pesos el metro, o el cálculo de la superficie de un patio de 3 metros de ancho y 5 metros de largo, o del trayecto recorrido en 3 horas por un andarín a razón de 5 km por hora. Una simple operación aritmética resuelve infinitos problemas. La Aritmética es una ciencia racional y no intuitiva; salvo en los conjuntos que contienen un número pequeño de objetos, no nos podemos guiar por nuestra visión intuitiva, porque sus apreciaciones son inexactas.
Ejemplos: 1) Si se le pregunta a una persona qué altura alcanzaría una columna formada por mil millones de billetes de 1 peso, suponiendo que 10 billetes tienen aproximadamente 1 mm de altura, pocos podrían imaginar que esa columna sería de 100 kilómetros, mucho más elevada que las más altas montañas terrestres colocadas una sobre otra. 2) El cálculo enseña que 13 objetos diferentes pueden disponerse de 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10 x 11 x 12 x 13 maneras distintas sobre 13 lugares prefijados, pero pocos podrían imaginarse fácilmente que 13 personas pueden ocupar 13 asientos preparados alrededor de una mesa de 6.227.020.800 maneras distintas. Y menos fácil aun es concebir que si para ocupar cada una de esas disposiciones diferentes se tardara sólo 1/4 de minuto, esas 13 personas tardarían más de 30 siglos en ocupar todas las disposiciones posibles. Jesucristo y sus apóstoles no habrían tenido tiempo hasta hoy de ensayar todas las distribuciones posibles para la última cena, debiendo proseguir sin cesar hasta el año 3000.
Estos ejemplos simples nos deben servir para no confiar excesivamente en nuestra "intuición" y para convencernos de la necesidad de realizar el estudio lógico de la Aritmética. También debemos cuidarnos de los sofismas, razonamientos aparentemente lógicos y que, sin embargo, pueden encerrar alguna "trampa". Por ejemplo, a un lector desprevenido se le podría "demostrar" que 3 es igual a 4, o en general, que todos los números son iguales. En efecto, por ser ambos miembros iguales a cero, se puede escribir la igualdad:
3 x 0 = 4 x 0
Y dividiendo ambos miembros por un mismo número (en este caso el 0) tendremos el desconcertante resultado:
3 = 4
Lo que indica un error en la demostración.