MATEMATICA – Polígonos

CONSTRUCCION DE POLIGONOS REGULARES
En general para construir un polígono regular habrá que dividir una circunferencia en tantas partes iguales como número de vértices tiene el polígono. Si se trata de hacer una división aproximada siempre se puede lograr, pero si se exige realizar exactamente la operación con los instrumentos clásicos: regla y compás, entonces el problema es imposible en general, pues sólo hay algunos casos en que es factible la construcción.
Los polígonos regulares que se presentan con más frecuencia se construyen fácilmente. Así, para construir un triángulo equilátero inscrito, basta transportar el radio sobre la circunferencia y unir alternadamente los puntos de división; la unión consecutiva de esos puntos por segmento da el hexágono regular. Uniendo los puntos determinados por dos diámetros perpendiculares se obtiene un cuadrado.
Interesante es la construcción de Ptolomeo del pentágono regular y del decágono regular: Desde el punto medio E del radio OB se traza un arco que lleva el punto C al D; el segmento OD es el lado del decágono regular y el CD es el del pentágono. Este segmento OD se llama también sección áurea (o dorada) del segmento OA y se la utiliza fecundamente en numerosos problemas artísticos.
¿Qué polígonos se pueden construir con regla y compás? Este antiguo enigma fue descifrado por el matemático alemán Gauss (1777-1855), llamado con justicia Princeps mathematicorum. No es posible construir el heptágono (7 lados), el eneágono (9 lados) ni tampoco los de 11 lados o 13 lados, y sin embargo, ¡cosa sorprendente!, es posible y no difícil la construcción del heptadecágono (17 lados). Fue éste un sensacional descubrimiento del joven Gauss, que contaba entonces precisamente ese mismo número de años. Y no se limitó a esta genial solución, sino que agotó el tema demostrando que los únicos números primos que permiten solución son los del tipo 2 ²? + 1. Para n = 1 resulta 5 (ya conocido de los griegos) y para n = 2 sale 17; para n = 3 el polígono construible y ya construido tiene 257 lados; y un pacienzudo doctor alemán ha construido también el polígono siguiente, que tiene 65 537 lados.