LA CUADRATURA EXACTA DE LA PARABOLA
La fórmula de los trapecios y mejor la de Simpson permiten calcular con cierta aproximación el área de un recinto plano. Sea por ejemplo la parábola dibujada, cuya ecuación suponemos para simplificar y = x².
Habría que tomar varias ordenadas, medirlas o calcularlas y llegaríamos a un resultado más o menos aceptable, pero si deseamos evaluar en general todos los segmentos parabólicos de base cualquiera 2a y altura b, ¿cómo sumar esa expresión algebraica que aparece en aquellas fórmulas? Es un problema difícil y el resultado nada satisfactorio por lo complicado y en general inexacto. En cambio Arquímedes dio esta bella fórmula sencilla y exacta que vale para todos los segmentos de todas las parábolas:
Area de OPQ = 2/3 base x altura = 2/3 . 2a . b
Con este magnífico descubrimiento del genio siracusano se inicia el Cálculo integral. El método de Arquímedes es una maravilla de ingenio, como lo son también muchos problemas de Euclides que en verdad pertenecen al Cálculo integral; pero después de Barrow, Newton y Leibniz, ya no se necesita talento para resolver cientos de problemas mucho más complicados. El Cálculo diferencial e integral, como la Geometría analítica, han mecanizado la Matemática, haciéndola accesible a los menos inteligentes. El secreto es una idea sencillísima: aplicar al área el concepto de derivada, es decir vincular los dos problemas antiquísimos en una síntesis fecunda.
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