MATEMATICA - Cálculo integral elemental

LA FORMULA BASICA DEL CALCULO INTEGRAL
En vez de considerar el segmento parabólico interno, vamos a evaluar el externo, rayado en el dibujo. Este cambio no es esencial, pero lo es y mucho esta idea: en vez de la base fija a consideremos una base variable x y así tendremos una función F(x) que expresa el área desde 0 hasta x.
Si incrementamos x en ?x el área F(x) recibe un incremento ?F, área del trapecio mixtilíneo cuyo lado curvo es el arco PP'; como ese trapecio está comprendido entre dos rectángulos, su área es intermedia entre ambas; luego el cociente ?F/?x es intermedio entre la base menor que vale x² y la mayor que vale (x + ?x) ². ¿Qué sucederá cuando ?x disminuya tendiendo hacia 0? Este cociente tendrá como límite x², y con la notación de las derivadas llegamos a este resultado capital:
F'(x) = x² (y en general F'(x) = f (x))
Desconocemos la función F(x) pero conocemos su derivada que es x² y como felizmente ésta es muy sencilla, basta buscar en la tabla cuál es su primitiva. Allí encontramos F(x) = x³/3 + constante; pero si x = 0, es F(0) = 0, y por consiguiente esa constante es nula y resulta:
Area = x³/3 = 1/3 x . x² = 1/3 x . y
Puesto que el segmento parabólico externo es un tercio del rectángulo, el interno será dos tercios del mismo; es el resultado de Arquímedes. Si hay un coeficiente k todas las ordenadas quedan multiplicadas por él y la fórmula subsiste. Si en vez del triángulo mixtilíneo OAP se quiere evaluar un trapecio entre las abscisas a y b, bastará calcular la diferencia b³/3 - a³/3.
REGLA PRACTICA: Para calcular el área del recinto limitado por una curva y = f (x) con el eje x y las rectas x = a, x = b, se busca una función primitiva F(x) y se sustituyen en ella los valores a y b. El área es la diferencia F(b) — F(a). En lugar de la extensa frase "área del recinto..., x = b" se dice más brevemente: "integral de f(x) entre a y b", y el resultado anterior se escribe así:
Esta es la fórmula mágica entrevista por Barrow y descubierta por Newton, en que confluyen dos caudalosas corrientes de ideas: la fácil pero poco interesante determinación de tangentes o derivadas, y el importantísimo pero difícil problema del área. Reducido el segundo al primero, el Cálculo avanzó pujante hacia el dominio del universo físico; el siglo XVIII está jalonado de victorias que elevan la Matemática a la jerarquía más alta entre las ciencias, como rectora de la Filosofía natural que soñara el canciller Bacon.