Existen ciertos instrumentos muy sencillos, llamados planímetros, que, con una operación casi tan simple como la del manejo del compás, dan el área decualquier figuraplana. El dibujo representa el planímetro más sencillo, de Amsler, el cual tiene dos ramas articuladas en O, como un compás. Una punta A queda fija, mientras la otra B describe el contorno de la figura y el disco graduado R, que va rodando sobre el plano al efectuar el recorrido, señala el área buscada.
¿No quedaría así resuelta la famosa cuadratura del círculo? Las palabras posible e imposible carecen de sentido si no se especifican las condiciones. Es posible, por ejemplo, amortizar con un centavo la deuda de un millón, si me conceden plazo suficiente; es posible levantar el mundo con la mano, como proponía Arquímedes, mediante una palanca bastante grande y un punto de apoyo bastante firme; es posible la trisección del ángulo con el compás, si se dibuja sobre un cilindro y también es posible en el plano, con una escuadra adecuada; es imposible la cuadratura del circulo con regla y compás tanto si se opera en el plano o sobre el cilindro; pero si el compás que traza la circunferencia se acuesta sobre el plano y se fija un taxímetro en una rama, es decir, si se transforma en un planímetro, la cuadratura es posible y hasta fácil. Cuando se habla, sin más explicaciones, de la cuadratura del círculo, se sobrentiende el planteamiento griego: "con número finito de construcciones de rectas y circunferencias auxiliares". Este viejo problema carece ya de interés, porque fue resuelto en 1870; la solución fue negativa, es decir, está perfectamente demostrado que con tales construcciones no puede darse el lado del cuadrado equivalente. Quienes, ignorantes de la fuerza imbatible de tal demostración, persisten en el vano empeño, tendrán en su inevitable fracaso el castigo a su osadía.
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