sábado, 31 de enero de 2015

MATEMATICA - Función exponencial y función logarítmica

LOGARITMOS: DEFINICION
Cuando en la relación y = a ? conocemos a y x hemos aprendido a calcular y. Así hemos calculado 10º, 10-¹, 10¹/², etc. Vamos a resolver ahora el problema inverso. Dada la potencia y la base a calcular el exponente x. Por la importancia que tiene este exponente ha recibido un nombre especial: logaritmo.
Logaritmo de un número y en una base a es el número x al que debe elevarse la base para que resulte a ? = y (antilogaritmo de x es el número y). En la Matemática superior los únicos logaritmos usados son los llamados naturales o neperianos, cuya base es el número definido así:
Pero en el cálculo elemental sólo se usa la base 10 y se llaman logaritmos decimales.
Si escribimos las potencias sucesivas de 10.
10º = 1 10¹ = 10 10² = 100 10³ = 1.000 … 10-¹ = 0,1 10-² = 0,01 10-³ = 0,001 … Los exponentes crecen o decrecen en progresión aritmética mientras que las potencias crecen o decrecen en progresión geométrica Así tenemos ya algunos logaritmos decimales:
log 1 = 0 log 10 = 1 log 100 = 2 log 1.000 = 3 … log 0,1 = —1 log 0,01 = —2 log 0,001 = —3 …
Con diversos procedimientos los matemáticos han construido tablas con 4, 5, 6, 7 y hasta 20 cifras exactas.

viernes, 30 de enero de 2015

ARITMETICA - Los números y la numeración

LA NUMERACION ROMANA Para apreciar mejor las ventajas de generalidad y sencillez de la numeración decimal, examinemos rápidamente la numeración escrita que antes de ella se usaba en Europa, que también es decimal, pero más complicada, por no utilizar el cero ni el principio de valor relativo. Las unidades simples, las decenas, centenas y millares se representan por los signos siguientes:
I, X, C, M
Y cada número se escribe poniendo tantos signos de cada especie como unidades tenga el orden respectivo. Así, por ejemplo, el número 1.123 se escribirá así: MCXXIII. Como la repetición de símbolos daría a los números longitud excesiva, se introduce el símbolo V para representar cinco, el L para representar cincuenta y el D para representar quinientos, y se conviene en que uno o más signos fundamentales (I, C), puestos a la derecha de otro de categoría inmediata superior, le agregan su valor, mientras que puestos a la izquierda se lo disminuyen. Por ejemplo, 29 y 37 se escriben así: XXIX y XXXVII. Precisando más: La I sólo se antepone a la V y a la X: la X sólo se antepone a la L y a la C; la C, a la D y a la M: los símbolos secundarios V, L y D no se anteponen ni se repiten; los fundamentales I, X, C y M sólo pueden repetirse tres veces a lo sumo. El objeto de estas restricciones es que un mismo número no pueda representarse por dos símbolos distintos. Por ejemplo, 99 no puede escribirse IC, sino XCIX. Pero, con todo, resulta un sistema complicado. A partir de C se prosigue agregando a su derecha los anteriores; 200, 300, 400, 500, que se representan así: CC, CCC, CD... El número 999 se representa CMXCIX; y el año 1948, por ejemplo: MCMXLVIII. Con lo dicho no se podrían representar números de 4.000 en adelante. Un nuevo convenio permite rebasar este límite. Tal es el de que la colocación de una raya horizontal encima del número transforme en millares sus unidades.
Hoy su empleo casi queda reducido a enumerar siglos, reyes..., o cuando hace falta emplear a la vez dos numeraciones; por ejemplo para enumerar los capítulos de un libro con romanos y los párrafos con decimales.

jueves, 29 de enero de 2015

MATEMATICA - Matemática financiera elemental

VALOR ACTUAL DE UN PESO A COBRAR AL CABO DE n PERIODOS
Si el tipo de interés es 6%, un peso a cobrar dentro de un año, no vale hoy un peso, pues basta entregar 1/(1,06) = 0,94 para que al cabo del año estos 94 centavos se conviertan en 1 peso. Análogamente un crédito de 1 peso a cobrar dentro de 10 años, vale hoy 1/(1,06)^10 = 0,558; si el crédito es a cobrar dentro de 80 años, su valor actual no llega a un centavo, pues depositado un centavo en cualquier negocio que produzca cada año 6% se convierte en un peso con 5 centavos.

miércoles, 28 de enero de 2015

MATEMATICA - Matemática financiera elemental

EL INTERES COMPUESTO
El chacarero que desea invertir sus ahorros en la compra de un pedazo de tierra, averigua ante todo cuánta cosecha produce y cuánto arrendamiento líquido percibirá, si él no lo cultiva personalmente; pero cuando se trate de la forma de pago de su compra, propondrá indefectiblemente pagar el precio convenido "a muchos años de plazo y sin interés". La palabra interés evoca siempre la idea de usura, en el sentido peyorativo que esta palabra ha tomado; pero en rigor usura deriva de uso y el interés no es sino el pago por el uso del dinero; en el caso mencionado, tiene su equivalente en la cosecha que el dueño vendedor del campo percibía y que ahora recogerá el nuevo dueño. Si deposito 1.000 pesos en un banco al 4% anual, al retirar el depósito al cabo de 3 años, es seguro (salvo el caso de Caja de ahorros) que me pagará 1.000 + 40 + 40 + + 40. Ahora bien, el banco, no solamente ha sacado de los mil pesos un interés más alto (la diferencia sirve para costear gastos y repartir dividendos), sino que también ha colocado a interés los 40 pesos durante dos años y otros 40 un año, quedándose íntegramente con tales ganancias. Veamos cuál es el cálculo justo. Puesto que cada peso se convierte en 1,04 al cabo de un año, el capital C se transforma en C.(1,04) y este nuevo capital, al cabo del segundo año, se convertirá en C.(1,04).(1,04) = C.(1,04)². En general: al cabo de n años habrá quedado C multiplicado por (1,04)?. Si el tipo de interés anual es 6%, el factor será (1,06) ? y en general, llamando r al tanto por uno, o sea la centésima parte del tanto por ciento, la fórmula del monto alcanzado por el capital inicial C al cabo de n años es:
M = C (1 + r) ?
Comparando este interés compuesto con el simple, el resultado difiere, siendo mayor el valor alcanzado al aplicar el interés compuesto; aunque la diferencia que se obtiene no es tan grande como podría suponerse.
EL CRECIMIENTO ORGANICO. — Escasa utilidad para tan avariciosa acumulación, es ganar con 1.000 pesos la modesta cantidad de 70 centavos respecto de la acumulación trimestral y poco más respecto de la semestral, que es más frecuente. Pero si la fórmula carece de interés financiero, lo tiene y grande en el estudio de los procesos naturales como el crecimiento orgánico; las nuevas células producen a su vez otras células y el crecimiento, hasta cierta época, sigue la ley exponencial.

martes, 27 de enero de 2015

MATEMATICA - Matemática financiera elemental

FORMULAS DE AMORTIZACIÓN Y CAPITALIZACION
La suma de cuotas de un fondo de amortización se trata de una progresión geométrica, de razón (1 + r) si es r el tanto por 1; y si llamamos n al número de cuotas o períodos:
(1 + r) ?-¹ + (1 + r) ? + … + (1 + r)² + (1 + r) + 1 =
= [(1 + r) ?—1]/ [(1 + r)—1] = [(1 + r) ?—1]/ r
Este es el capital acumulado por las cuotas de 1 peso pagadas al final de los n períodos, y puede enunciarse esta sencilla regla:
El capital C formado con cuotas c pagadas al final de cada período, es igual a c por la plusvalía de 1 peso dividida por el tanto por 1.
C = c . P/r
Igualmente sencillo es el problema inverso: ¿qué cuota debe pagarse durante períodos para amortizar la deuda C?
C = C . r/P
NOTA. — A veces se da, no la cuota de amortización, sino el importe total del servicio a (llamado anualidad cuando el período es un año) y suponiendo que las dos tasas de interés y de amortización son idénticas (cosa que generalmente no sucede en los préstamos de los bancos). El capital acumulado por las n cuotas a debe igualar al capital final C (1 + r) ? y el cálculo es éste:
Y como el paréntesis significa la depreciación o minusvalía m sufrida por 1 peso, o sea la diferencia con su valor actual, resulta:
El capital amortizado con n cuotas a (amortización e intereses) pagadas al final de n períodos, es igual al servicio a por la minusvalía, dividida por el tanto por 1.
C = a . m/r
Frecuentemente se pide, no la cuota de amortización, sino el servicio total, es decir, debe sumarse la cuota de interés, que es C.r:

lunes, 26 de enero de 2015

MATEMATICA - Matemática financiera elemental

AMORTIZACION DE DEUDAS
Si recibo un préstamo de 100 pesos al 6% anual, debo pagar 6 pesos anuales indefinidamente, sin que mi deuda disminuya un centavo. Supongamos ahora que en lugar de 6 pesos pago 7, incluyendo 1 de amortización; el año próximo el interés bajará un 0,06 y deberé pagar 6,94; al año siguiente, como la deuda ha bajado 2 pesos, el interés bajará otros 6 centavos, etc. La carga irá aligerándose poco a poco, es verdad, pero la cuenta será larga, pues hasta los 100 años no habrán amortizado los herederos de mis herederos la deuda total, peso a peso. Veamos cómo mejora tan desagradable perspectiva. En lugar de economizarme esos centavos de interés, seguiré pagando los 6 pesos por año y además 1 peso de amortización, como si fuera una cuenta separada. Mi deuda seguirá invariablemente de 100 pesos, pero con ese peso anual sumado a sus intereses se irá formando un fondo de amortización, cuyo monto, al cabo de 33 años, será:
1,06³² + 1,06³¹ + … + 1,06³ + 1,06² + 1,06 + 1
Esto es puesto que la primera cuota pagada a fin del primer año, produce interés 32 años y la última se paga al final de los 33 años. Resulta así realizado el milagro de que con un peso anual en 33 años he formado un capital de 100 pesos, quedando, por tanto, cancelada mi deuda inicial. Para el rústico que no entiende de intereses, es un milagro, no tan impresionante como el de los panes y los peces, pero en verdad sorprendente, el de haber triplicado el capital desembolsado (33 pesos) logrando formar 100. Este simple cálculo es el que sirve de fundamento a algunas instituciones de crédito.

domingo, 25 de enero de 2015

MATEMATICA – Geometría esférica

ALGUNAS PROPIEDADES DE LA SUPERFICIE ESFERICA
Todo un libro podría escribirse sobre la esfera y sus propiedades. Destacaremos algunas de sus características intuitivas más importantes.
1) Plano tangente: Si en un punto de una superficie esférica trazamos el plano perpendicular al radio correspondiente, este plano tiene ese solo punto común con la superficie, siendo todos los demás exteriores a la esfera. 2) Cualquier sección de la superficie esférica por un plano secante es una circunferencia. Si el plano pasa por el centro de la circunferencia tiene radio r y se llama máxima y si no pasa por el centro, se llama menor. 3) La menor distancia de dos puntos A y B sobre la superficie esférica está dada por el arco de circunferencia máxima determinado por A, B, y el centro O de la esfera. Por lo tanto este arco de circunferencia máxima desempeña en la esfera el mismo papel que el segmento de recta en el plano. 4) El perfil de la esfera desde cualquier punto es un círculo. Esto significa que el cono circunscrito formado por las visuales tangentes trazadas desde cualquier punto exterior es de revolución. 5) La esfera tiene anchura constante, es decir, podría moverse entre dos planos tangentes paralelos, conservándose siempre tangente a ellos. 6) La esfera es, entre todos los cuerpos de igual volumen el de menor área y también es el cuerpo que ocupa mayor volumen para una superficie dada.

sábado, 24 de enero de 2015

MATEMATICA – Geometría esférica

PROPIEDADES ESFERICAS NO EUCLIDIANAS
La primera novedad que encontramos es ésta: dos triángulos que tienen iguales elementos pero en orden inverso, no coinciden por el movimiento. He aquí, sobre la esfera terrestre, dos triángulos cuya base común AB es un arco de ecuador y los vértices C y C' están en el meridiano de A, con latitudes opuestas. Los dos triángulos ABC, ABC' son simétricos y tienen sus elementos iguales pero es imposible hacerlos coincidir.
Otra novedad: no solamente puede tener un triángulo dos ángulos rectos (por ejemplo dos cuadrantes de meridiano y el arco que limitan en el ecuador), sino que pueden ser rectos los tres ángulos. Ejemplo: el meridiano de Buenos Aires y el del canal de Suez, que son aproximadamente perpendiculares, forman con el ecuador un triángulo trirrectángulo. En tales triángulos trirrectángulos es A + B + C = 3R. En cambio, en un triángulo pequeño que sea sensiblemente rectilíneo, la suma vale aproximadamente 2R, pero va aumentando a medida que crece el triángulo. Ya no valen, por tanto, las consecuencias sacadas del teorema de la geometría plana; los ángulos de un triángulo rectángulo no son complementarios; la suma de los tres ángulos es mayor que 180º; no es cierto el teorema de Tales sobre los ángulos inscritos en la semicircunferencia; la misma demostración allí dada prueba que aquí son obtusos. La novedad más sorprendente es ésta: basta conocer los ángulos de un triángulo para conocer su área.

viernes, 23 de enero de 2015

MATEMATICA - El teorema de Pitágoras y sus aplicaciones

EL TRIANGULO EQUILATERO Y LA VARA ARGENTINA
Si ABC es un triángulo equilátero todos sus ángulos son iguales a 60°. Si la longitud del lado es a, la altura h se puede calcular mediante el teorema de Pitágoras; puesto que en el triángulo rectángulo AMC, es AM = a/2, AC = a, se verifica:
h² = a² - (a/2)² = ¾ a²
Luego resulta:
h = a ( v3)/2
Si se conoce la altura h, el lado resulta ser:
a = h . 2/ v3
Si a = 1 m resulta h = 0,866 m = 1 vara En efecto, éste es el valor adoptado para la vara argentina, la cual tiene sobre las diversas varas europeas la ventaja de ser muy sencilla la relación de áreas:
1 v² = 3/4 m² = 75 dm²
1 m² = 4/3 v²
Para reducir un número de varas cuadradas a metros, se le resta su cuarta parte; para reducir metros cuadrados a varas se suma la tercera parte. En general: la altura de un triángulo equilátero mide en varas, lo que el lado mide en metros.

jueves, 22 de enero de 2015

MATEMATICA - El teorema de Pitágoras y sus aplicaciones

RECTIFICACION DE LA CIRCUNFERENCIA Y CUADRATURA DEL CIRCULO RECTIFICACION APROXIMADA
Hay muchos procedimientos para determinar gráficamente un segmento cuya longitud sea aproximadamente igual a la longitud de la circunferencia. Veamos uno de estos procedimientos.
A partir del centro O se traza la recta OC formando un ángulo de 30° con el diámetro AB. Desde C y sobre la tangente en B, se transporta tres veces el radio (CP = 3r) . Uniendo A con P se obtiene el segmento AP aproximadamente igual a la semicircunferencia. En efecto: por ser el ángulo de 30° es:
CB = CO /2
Por consiguiente, recordando lo dicho para los triángulos equiláteros es:
CO = 2r v/3
CB = r v/3
Entonces:
BP = CP — CB = 3r — r / v3 = r (3 —v3 /3)
Puesto que multiplicando numerador y denominador porv3:
v1/3 queda convertido env3 /3
Luego por el teorema de Pitágoras será:
AP² = AB² + BP² = 4r² + r² (28/3 — 2v3) = r² (40 — 6v3) : 3
Efectuando las operaciones resulta:
AP = 3,14153 r
Y como la longitud de la semicircunferencia es:
l = p.r = 3,14159 r
El error que se comete en esta construcción es de 0,00006 . r, o sea 0,002%.

miércoles, 21 de enero de 2015

MATEMATICA - El teorema de Pitágoras y sus aplicaciones

LOS NUMEROS PITAGORICOS Y LOS ARPEDONANTES EGIPCIOS
El teorema de Pitágoras expresa que en un triángulo rectángulo cuyos catetos son a y b y la hipotenusa es c, se verifica:
a² = b² + c²
Pitágoras y sus discípulos se esforzaron en buscar soluciones enteras de esta ecuación; tales números a, b, c, se llaman pitagóricos. El ejemplo más sencillo de estos números pitagóricos es el triplete: 3, 4, 5, (pues 3² + 4² = 5²), que ya conocían los egipcios. El trazado de perpendiculares en el terreno era efectuado en Egipto por los arpedonantes (extensores de hilos) que se valían de un cordel dividido en 12 (3, 4, 5) partes, mediante nudos intermedios y anudados por los extremos. Al extender el triángulo sobre el terreno, tenían en los catetos dos rectas perpendiculares, es decir, una escuadra que les permitía determinar la dirección Norte-Sur, conocida la dirección Este-Oeste, para orientar exactamente los templos. Este sencillo invento del cordel con nudos es muy útil en el campo para el trazado de perpendiculares.

martes, 20 de enero de 2015

MATEMATICA - Función exponencial y función logarítmica

LOGARITMOS: CARACTERISTICA Y MANTISA
Si se trata de calcular el logaritmo decimal (que escribiremos log) de un número como 736,83, observemos que:
100 < 736,83 < 1000
O sea
10² < 736,83 < 10³
Y por lo que hemos dicho sobre la variación de la función exponencial deberá ser:
2 < log 736,83 < 3
Es decir:
log 736,83 = 2,...
Esa parte entera del logaritmo se llama característica y la parte decimal (que hemos señalado con puntos suspensivos) se llama mantisa. En general la característica de un número es igual al orden de la primera cifra significativa del número (entendiendo que las unidades ocupan el lugar cero, las decenas el 1, las centenas el 2, etc.). Esta regla vale para los números menores que 1, considerando las décimas, centésimas, etc..., como unidades de órdenes —1, —2, etc..., y resultan de característica negativa y mantisa positiva.
Por ejemplo:
10-² < 0,073 < 10-¹
Luego:
—2 < log 0,073 < —1
Es decir:
log 0,073 = 2 + 0,8633
Como la característica se calcula fácilmente, no figura en las tablas y éstas dan solamente la parte decimal o mantisa. Debe advertirse que esta mantisa es una parte decimal positiva y el logaritmo se escribe así:
log 0,073 = ´2`,8633
donde el signo — que figura encima del 2 sólo afecta al 2 y no a la parte decimal.

lunes, 19 de enero de 2015

MATEMATICA - El teorema de Pitágoras y sus aplicaciones

MEDIAS PROPORCIONALES ENTRE SEGMENTOS
Otro método para la demostración del teorema de Pitágoras se apoya en la teoría de las medias proporcionales. Un segmento c se llama media proporcional o geométrica entre a y p si es c² = a . p.
Sea a > p; si se construye sobre el diámetro BC = a una semicircunferencia y sobre a se lleva BP = p, levantando la perpendicular en P resulta en el triángulo rectángulo ABC: El cateto AB = c es medio proporcional entre la hipotenusa BC y su proyección BP sobre ella.
En efecto, los triángulos rectángulos ABC y PBA son semejantes, por tener ángulos iguales (el ángulo B es común), luego:
AB/PB = BC/BA
O sea:
c / p = a / c
Por tanto:
c² = ap
Análogamente: La altura h es media proporcional entre los segmentos p y q en que divide a la hipotenusa (comparando los triángulos semejantes ABP y ACP.)

domingo, 18 de enero de 2015

MATEMATICA - El teorema de Pitágoras y sus aplicaciones

DEMOSTRACION DEL TEOREMA
Uno de los teoremas más célebres fundamentales de toda la Matemática es sin duda el llamado por antonomasia teorema de Pitágoras. En los Elementos de Euclides figura al final del primero de los 13 libros, como proposición 47. Las 46 proposiciones previas eran necesarias para la demostración de este teorema, pero se pueden dar demostraciones más breves utilizando áreas de cuadrados y rectángulos. He aquí la más sencilla de todas:
Dado el triángulo rectángulo T de catetos b, c e hipotenusa a, sean A, B, C los cuadrados construidos sobre a, b, c: con cuatro triángulos iguales a T y el cuadrado A formamos un cuadrado.
(Nótese que al ajustar los triángulos alrededor del cuadrado A, los ángulos en cada vértice suman dos rectos, uno del cuadrado y otro como suma de ángulos complementarios.)
Esos mismos cuatro triángulos T, con los cuadrados B y C, componen otro cuadrado:
Pero los dos cuadrados así formados son iguales, pues tienen lado b + c; por tanto tenemos la equivalencia
A + 4T = B + C + 4T
O sea:
A = B + C
Llegamos así al famoso teorema:
El cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo es equivalente a la suma de los cuadrados construidos sobre los catetos. Expresando que el área a² del primero es igual a la suma de las áreas b² y c² de los otros dos, se obtiene esta relación:
a² = b² + c²
Descubierta por Pitágoras, hace alrededor de 2 500 años.

sábado, 17 de enero de 2015

MATEMATICA – Rectas y planos

ANGULOS TRIEDROS
Usando el ejemplo de la habitación, a la porción de espacio comprendido entre dos paredes consecutivas y el piso se le llama ángulo triedro o simplemente triedro. En general tres planos al cortarse dos a dos determinarán ochotriedros, como lo muestra claramente la figura.
Consideremos ahora uno sólo de esos ocho triedros. Cada dos planos se cortan según una arista del triedro: a, b, c y las tres aristas se encuentran en el vértice V del triedro.
Si por la arista a del triedro se hace un corte y se despliega el triedro sobre la hoja quedarán formados los tres ángulos ab, bc y cd, que sumados no llegan a cuatro rectos. En general se verifica que: La suma de las tres caras de un triedro es menor que cuatro rectos.
Si se quiere construir un triedro, se deberá dibujar en una hoja tres ángulos consecutivos ab, bc y cd. Si los tres ángulos suman un ángulo completo (cuatro rectos) d tendrá que coincidir con a y no se podrán formar los tres planos para construir el triedro. Si la suma en cambio es menor que cuatro rectos, habrá que doblar la hoja por a, b y c llevándose d a coincidir con a. ¿Siempre será ello posible? No, puesto que se pueden dibujar tres ángulos consecutivos cuya suma sea menor que cuatro rectos y suceder que al doblar la hoja por las aristas, el triedro "no se cierre", tal como lo muestra la figura.
Deberá verificarse además que: La mayor de las caras de un triedro sea menor que la suma de las otras.

viernes, 16 de enero de 2015

MATEMATICA – Rectas y planos

ANGULOS POLIEDROS
Si sobre una hoja de papel dibujamos los ángulos consecutivos ab, bc, cd, de, ef, de tal modo que se cumplan las dos condiciones anteriores, es decir que la suma de todos los ángulos es menor que cuatro rectos, y además que el mayor de todos los ángulos es menor que la suma de los demás, se podrá doblar la hoja por las aristas a, b, c, d y e llevando a coincidir f con a. En esta forma queda limitada una región del espacio que se llama ángulo poliedro.

jueves, 15 de enero de 2015

MATEMATICA – La circunferencia y sus aplicaciones

OVALOS Y GRECAS ORNAMENTALES
En general un óvalo es una curva plana en la cual todos los ángulos que se inscriban son ángulos convexos. En el dibujo geométrico es muy frecuente trazar óvalos compuestos con arcos de circunferencia y simétricos respecto de uno o de dos ejes. Una manera sencilla de trazar un óvalo con dos circunferencias iguales es la indicada en la figura, en la que se han elegido como centros P y Q de los arcos de empalme los puntos de intersección. Los puntos de empalme A, B, C, D se determinan uniendo P y Q con los centros de las circunferencias auxiliares. Si se utilizan dos circunferencias de radios r y r' habrá que elegir el radio R del arco de empalme mayor que ambos, y determinar los puntos O y O' cortando los arcos trazados desde C' y C" con radios R-r y R-r'.
Las grecas se obtienen combinando segmentos rectilíneos y arcos de circunferencias de acuerdo a los principios de acordamiento.

miércoles, 14 de enero de 2015

MATEMATICA – Rectas y planos

ANGULOS DIEDROS
Así como dos rectas de un plano determinan al cortarse cuatro regiones (ángulos), dos planos al cortarse determinan también cuatro regiones del espacio llamadas ángulos diedros o simplemente diedros. A la recta común a los dos planos la llamamos arista del diedro.
Las paredes de una habitación forman dos a dos ángulos diedros; lo mismo ocurre con cada una de las paredes con el techo o con el piso. Si por un punto de la arista del diedro trazamos en cada cara una perpendicular a esta arista, tendremos un ángulo plano que se designa ángulo rectilíneo correspondiente al diedro. (A veces se le llama sección normal del diedro porque las dos perpendiculares determinan un plano que es perpendicular a la arista.) Dado que consideramos como diedros iguales a aquellos que coinciden totalmente cuando se superponen, resulta evidente que en ese caso también coincidirán los correspondientes rectilíneos, y por ello para comparar dos diedros basta comparar sus rectilíneos correspondientes. En el ejemplo de la habitación las aristas laterales forman con los cantos del piso ángulos rectos y por eso diremos que los diedros que forman las paredes con el piso son diedros rectos. Los planos que lo forman se llaman planos perpendiculares.
Si una recta r corta a un plano y desde M trazamos la perpendicular MP al plano, las rectas r y MP determinan un plano perpendicular al primero. La intersección de ambos planos (traza) r', forma con r un ángulo llamado inclinación de r. La recta r' también se llama proyección ortogonal de r.

martes, 13 de enero de 2015

ARITMETICA - Los números y la numeración

ORIGEN Y FUNDAMENTO DE NUESTRO SISTEMA DE NUMERACION
Los pueblos primitivos representaban los números por piedrecillas (en latín se llaman calculi) y de este manejo de calculi procede la palabra calcular. Note el lector la relación remota que existe entre los cálculos calcáreos que a veces se forman en ciertas vísceras y los cálculos matemáticos. En lugar de piedrecillas se usó después el ábaco, que era un tablero con canaletas donde podían moverse bolitas (ésa era la tabla de Pitágoras y no la que hoy llaman así); o bien un bastidor con varias hileras de bolitas enhebradas en alambre, como se usa en la escuela primaria. Los griegos tenían numeración escrita muy imperfecta, y la numeración romana no era mejor; por eso predominó el ábaco hasta el año 1000, en que se introduce nuestra numeración decimal. Durante siglos se entabló lucha entre los abacistas (calculadores con el ábaco) y los algorítmicos (calculadores con cifras), hasta que la baratura del papel dio la victoria a éstos.
Ejemplo: Veamos en un ejemplo este progreso evolutivo. No nos es difícil escribir el número diez mil millones: 10.000.000.000. Expresamos así en forma muy breve un número que de haberlo tenido que escribir representando una por una todas las unidades que contiene, por medio de una rayita (a distancia de 1 mm), exigiría una tira de papel tan larga como la distancia que hay entre el ecuador y el polo. Con el ábaco de Pitágoras se habría podido representar, pero construyendo uno muy grande de once ranuras para dar cabida a las once clases de unidades decimales. Ni griegos ni romanos habrían podido escribirlo, sin ampliar su escaso repertorio de símbolos. En cambio, con las nueve cifras significativas y el cero, se logra escribir fácilmente cualquier número.
He aquí las características de este ventajoso sistema: 1) La base del sistema de numeración es el número diez. Esta idea es muy antigua y la numeración egipcia como la china y la griega, era decimal. 2) Cada cifra del número tiene un valor relativo, es decir, dependiente del lugar que tiene en el número. Por ejemplo, en el número 7.305 el 7 vale siete mil unidades y el 3 representa trescientas unidades.
Este principio del valor relativo era conocido por Pitágoras y su ábaco se basa en él, pero los griegos posteriores no supieron utilizarlo en su numeración escrita. El romano Boecio usaba las cifras grabadas en tarugos de madera, incluso el cero, pero su manejo era incómodo. Los hindúes en cambio escribían las cifras en una tabla espolvoreada con arena, método más económico, pero no muy cómodo. Finalmente la fabricación industrial del papel y la tinta a fines del siglo XV trajo consigo el triunfo de la numeración por cifras y el éxito de la imprenta de tipos móviles, ideas ya conocidas, pero hasta entonces impracticables.

lunes, 12 de enero de 2015

MATEMATICA - La proporcionalidad y sus aplicaciones aritméticas

PROPORCIONES ENTRE CANTIDADES
La igualdad entre dos razones se acostumbra a llamar proporción y suele escribirse así:
2 dm³ / 7 dm ³ = 22,8 kg / 79,8 kg
2 dm³ : 7 dm ³ = 22,8 kg : 79,8 kg
que también puede escribirse invirtiendo el orden:
7 dm³ : 2 dm ³ = 79,8 kg : 22,8 kg
Si quisiéramos saber cuánto pesa cada dm³ de plomo deberíamos dividir 22,8 kg por 2, o bien 79,8 kg por 7, y evidentemente en los dos casos obtendremos el mismo resultado. Este cociente constante se llama razón de proporcionalidad entre la magnitud peso y la magnitud volumen. Aunque le adjudicamos el mismo nombre de razón que el utilizado entre magnitudes homogéneas, corresponde advertir la diferencia. Esta razón de proporcionalidad no es un número abstracto, sino concreto, y en nuestro ejemplo debe indicarse que vale 11,4 kilogramos por decímetro cúbico. (La razón de proporcionalidad entre el peso de un cuerpo y su volumen se llama en general peso específico; el peso específico del plomo es 11,4.)

domingo, 11 de enero de 2015

MATEMATICA - La proporcionalidad y sus aplicaciones aritméticas

PROBLEMAS DE PORCENTAJE E INTERES SIMPLE
Cuando un martillero vende una casa, recibe en retribución de sus servicios una cantidad de dinero proporcional al precio de venta. Se acostumbra a referir esa comisión a un determinado valor: $ 100. Con una simple regla de tres se puede entonces saber cuál es la comisión que le corresponde en cualquier caso. Así, si ha vendido una casa en $ 40.000 y la comisión es del 5% (se lee 5 por ciento) la proporción será:
100 / 5 = 40.000 / x
Luego x = $ 2.000.
Sin necesidad de regla de tres, para calcular porcentajes (o tantos por ciento) de una cantidad N se procede así: se divide N por 100 y se multiplica por el tanto por ciento.
INTERES SIMPLE. — Si una persona deposita una cierta cantidad de dinero en un banco, recibe al cabo de un cierto tiempo un interés o "premio". Así, por ejemplo, depositando $ 100 en una Caja de Ahorros al cabo de un año le entregan $ 2 de interés, es decir se tiene ya $ 102. ¿Por qué la Caja entrega ese interés? Porque la Caja, así como los bancos, puede realizar o permitir realizar con sus préstamos operaciones comerciales en la agricultura, la ganadería o la industria, de gran rendimiento, utilizando el dinero de muchas personas que depositan sus capitales. Al dinero que se deposita se le llama capital y a la suma del capital y del interés se le llama monto. En el ejemplo anterior el capital sería de $ 100 y el monto de $ 102. Se ha convenido que el interés sea proporcional al capital y al tiempo. Si i es el tanto por ciento (%) convenido de interés, es decir si $ 100, producen en un año i, $ 1 producirá i/100 y $ C producirán C.i/100. Y al cabo de t años producirán t veces más, o sea:
I = C.i.t / 100
Esta es la fórmula fundamental, que no sólo sirve para calcular intereses sino también capitales, tiempo y tantos por ciento. Se trata de reemplazar tres de los valores, y calcular el cuarto. Cuando el dinero no está depositado un número entero de años, sino que se presentan fracciones de año, el cálculo del interés se hará por días o por meses, y habrá que dividir en el primer caso por 360 (número de días del año comercial) y por 12 en el segundo, resultando las fórmulas:
I = C.i.d / 36000
I = C.i.m / 1200
En las que d y m indican el número de días y meses, respectivamente.
NOTA: En los bancos se utilizan tablas, calculadas de acuerdo al % que rige en sus operaciones. Cuando una persona deposita una cantidad en Caja de Ahorros ya se le calcula mediante la tabla el interés que deberá percibir al final del período de capitalización (es decir al final del trimestre, semestre o año, según los casos). Ese interés se le acredita al cliente. Si por cualquier motivo el cliente retira parte del dinero antes del periodo de capitalización, se calcula con la misma tabla el interés que debe descontársele, y que se debita en su cuenta. Al acumular después de cada período los intereses, en realidad se está produciendo un interés compuesto.

sábado, 10 de enero de 2015

MATEMATICA – Triángulos

EL TRIANGULO ISOSCELES Y LA SIMETRIA Sean AB y AC los dos lados iguales del triángulo isósceles. Si le damos vuelta de modo que AB caiga sobre AC, y AC sobre AB, el ángulo B coincidirá con el C; luego resulta: los ángulos en la base BC son iguales. En este movimiento llamado rebatimiento queda inmóvil A y también el punto M, medio de BC. La recta AM llamada mediatriz de BC es, pues, perpendicular a la base y se llama también altura.
Estas propiedades y la medida de distancias inaccesibles con la escuadra isósceles fueron los primeros descubrimientos de Tales de Mileto.
Decimos que AM es eje de simetría de la figura, y el movimiento que hemos efectuado lo llamamos simetría respecto de un eje o simetría axial. Dos figuras simétricas son iguales pero no se pueden superponer por resbalamiento sobre el plano; es preciso el rebatimiento. En general, si una figura I realizada con tinta fresca es rebatida alrededor de una recta AB, se obtiene una figura II simétrica de la anterior. La simetría es la esencia de muchos elementos decorativos. Dibújese una rúbrica y sin dejar secar la tinta dóblese el papel por una recta que la atraviese; así se producen figuras más o menos bellas.

viernes, 9 de enero de 2015

MATEMATICA - Funciones transcendentes

REPRESENTACION GRAFICA Y CRECIMIENTO DE PROGRESIONES GEOMETRICAS
Si por analogía con la espiral de Arquímedes que representa la progresión aritmética, representamos la función:
r = a q ?
La figura muestra la espiral para a = 1 , q = 2 (r = 2?)
Para tener una idea de cómo crecen de rápido los términos de una progresión geométrica, cosa que ya se ve en la espiral, nada mejor que relatar la leyenda que atribuye al inventor del ajedrez la "modesta" aspiración de recibir por su invento un solo grano de trigo en la primer casilla del tablero, dos en la segunda, cuatro en la tercera, ocho en la cuarta y así sucesivamente en las 64 casillas. Si en la fórmula que da la suma de una progresión geométrica hacemos a = 1, q = 2 y n = 64, obtenemos:
S = (2^64 — 1)/(2 — 1) = 18.446.744.073.709.551.615 granos.
Si se supone que en un hectolitro entran 2.500.000 granos, la "modesta" aspiración del inventor representa ¡7.378.697.629.483,82 hectolitros de trigo!

jueves, 8 de enero de 2015

MATEMATICA - Funciones transcendentes

REPRESENTACION GRAFICA
Hay muchas maneras de representar gráficamente las funciones o correspondencias. La prensa diaria y los periódicos han acostumbrado al público a "leer" gráficas que muestran, por ejemplo, la variación de las exportaciones e importaciones a través de los últimos meses; en las salas de enfermos se acostumbra llevar una gráfica de la evolución de la fiebre, con lo cual no sólo se sabe cuál es la fiebre en un momento determinado sino también la evolución del proceso del enfermo. En esta gráfica, aunque la temperatura se toma cada seis horas, se une con un trazo rectilíneo cada dos puntos consecutivos, como si la variación fuera lineal. Gráfica análoga, pero de trazo continuo, es la que se obtiene con los termógrafos que registran la temperatura de un ambiente.
Estas gráficas cartesianas son las más frecuentes. Una misma gráfica cartesiana puede servir para varias representaciones. Por ejemplo la ecuación de los gasesperfectos: presión por volumen igual a constante, o en fórmula:
p . v = c
Dibujada en la figura tiene igual representación que la hipérbola equilátera.

miércoles, 7 de enero de 2015

MATEMATICA - Funciones transcendentes

PROGRESIONES GEOMETRICAS
Si en vez de adiciones con un número fijo d, efectuamos multiplicaciones por un número fijo q llamado razón, resulta la progresión geométrica:
a , aq , aq² , ... , aq^n-1
Para calcular la suma de los términos:
S = a + aq + aq²
Basta multiplicar ambos miembros por q:
Sq = aq + aq² + aq³ + ... + aq^n-i +aq^i
Restando queda: S (q —1) = a.q? — a
Luego:
S = (a.q? — a) / (q —1)
REGLA: Para obtener la suma de una progresión geométrica se resta el primer número del siguiente al último y se divide por la razón disminuida en 1.

martes, 6 de enero de 2015

MATEMATICA - Funciones transcendentes

PROGRESIONES ARITMETICAS
Si varios números son tales que cada uno se deduce del anterior sumándole un número fijo d (llamado diferencia), se dice que forman una progresión aritmética. Ejemplos:
Números naturales: 1, 2, 3,... (d = 1) Números pares: 2, 4, 6,... (d = 2) Números impares: 1, 3, 5,... (d = 2) Múltiplos de 5: 5, 10, 15,... (d = 5)
Si el primer número es a y la diferencia d, el segundo será a + d, el tercero a + 2d y el n-simo (se lee enésimo, o sea el de lugar n), será a + (n—1)d. Puesto que el segundo se deduce sumando d al primero y el penúltimo restando d del último, resulta:
primero + último = segundo + penúltimo = tercero + antepenúltimo = …
Es decir: la suma de números equidistantes de los extremos es constante.
Si sumamos todos estos pares sale dos veces la suma total, luego: La suma de los términos de una progresión aritmética es igual a la semisuma de los extremos por el número de elementos.

lunes, 5 de enero de 2015

MATEMATICA - Funciones transcendentes

GRAFICAS POLARES
En lugar de las coordenadas cartesianas conviene a veces adoptar coordenadas polares para fijar al punto: respecto de una semirrecta basta, en efecto, dar el ángulo ? que forma con ella la recta OP y la distancia r = OP.
Las coordenadas de P son: Radio vector: r = 2 Argumento: ? = p/4 = 45°
Como ejemplo vamos a representar la siguiente función:  r = ?/4 Con la tabla de valores adjunta, donde ? aparece medido en ángulos rectos, se construye la curva. Resulta una espiral de Arquímedes que tiene infinitas espiras.
Vemos que estos radios vectores van aumentando en 1/4 para cada cuadrante; y como casos análogos se presentan con frecuencia, se estudian especialmente con el nombre de progresiones.

domingo, 4 de enero de 2015

MATEMATICA - Funciones transcendentes

CONCEPTO GENERAL DE FUNCION Las correspondencias entre números, establecidas por las operaciones aritméticas reciben el nombre de funciones. Las más sencillas son las de primero y segundo grado. Las ciencias naturales nos presentan ejemplos de funciones o sea correspondencias entre magnitudes físicas; y el gran progreso de la ciencia ha consistido en expresar tales funciones por operaciones aritméticas, para poder utilizar el poderoso instrumento algebraico. Fue así como Galileo, con razonamientos admirables por su sencillez y profundidad, pudo afirmar que los cuerpos recorrían en su caída, caminos que dependían exclusivamente del tiempo, y posteriormente pudo probar experimentalmente que la caída se producía de acuerdo a lo previsto por la ley. En resumen: el espacio recorrido sólo es función del tiempo. Además probó que si un cuerpo recorría en su caída en el vacío un cierto espacio en un intervalo de tiempo, a un tiempo doble le correspondía un espacio cuádruple, y a un tiempo triple un espacio nueve veces mayor que el primitivo: brevemente, que el espacio es proporcional al cuadrado del tiempo de caída. La función de Galileo es por tanto:
e = k t²
Donde k es una constante.
Otros ejemplos de funciones son: 1) La longitud de una circunferencia es función del radio: C = 2 p r 2) El área de un círculo es función del radio: S = p r² 3) El volumen de un cono circular recto es función del radio r de la base y de su altura h: V = p r² h/3 4) Otra ley famosa es la de Kepler: Los cuadrados de los tiempos de revolución de dos planetas alrededor del Sol son proporcionales a los cubos de los ejes mayores de las órbitas:
T1²/T2² = d1³/d2³
Siendo T1 y T2, los tiempos que emplean dos planetas distintos en recorrer sus respectivas órbitas alrededor del Sol y d1 y d2, los respectivos ejes mayores de esas órbitas elípticas. De esta ley resulta que el tiempo de revolución de un planeta es función del diámetro de su órbita.

sábado, 3 de enero de 2015

MATEMATICA – Polígonos

ANGULOS INTERIORES Y EXTERIORES DE UN POLIGONO
Hemos visto que la suma de los ángulos de un triángulo cualquiera es igual a dos rectos; ¿cuánto valdrá la suma de los ángulos de un cuadrilátero, de un pentágono, de un hexágono... de un polígono de n lados? Para el cuadrilátero es evidente que trazando una diagonal se forman dos triángulos; por consiguiente, la suma será 2R . 2; para el pentágono al trazar desde un vértice las dos diagonales posibles se forman tres triángulos y la suma será 2R . 3. En general con esta descomposición se forman tantos triángulos como número de lados tiene el polígono menos dos. Luego, podremos escribir:
Suma de los ángulos de un polígono = 2(n — 2)R
En particular la suma de los ángulos interiores de un pentágono suman 540°. Si los 5 ángulos son iguales, cada uno medirá 108°.

viernes, 2 de enero de 2015

MATEMATICA - Aritmética de los números negativos

SUMA Y RESTA CON NUMEROS ENTEROS
SUMA. —Fijémonos en un ejemplo de sumandos negativos y positivos. Si mi capital se compone de 8 pesos positivos y 5 negativos, es decir: si tengo $ 8 y debo $ 5, en realidad tengo:
8 + (— 5) = 8 — 5 = 3
O sea tengo $ 3. Si tengo $ 5 y debo $ 8, mi capital es:
5 + (—8) = 5 —8 = —3
O sea debo $ 3.
Y si debo a una persona $ 5 y a otra $ 8, en total debo $ 13, y de acuerdo a los símbolos adoptados se debe escribir:
(—5) + (—8) = —(5 + 8) = —13
Generalizando estos casos sencillos, se puede adoptar la siguiente definición:
La suma de varios enteros del mismo signo es igual al número que se obtiene sumando los valores absolutos, anteponiendo el signo de los números dados. La suma de dos números de diferente signo es igual al número que se obtiene restando los valores absolutos, y anteponiéndole el signo del número de mayor valor absoluto. Para el caso de varios sumandos no hay más que aplicar reiteradamente la definición.
RESTA. —La resta de dos números enteros es siempre posible y la diferencia se obtiene sumando al minuendo el número opuesto al sustraendo.
(+5) — (+3) = (+5) + (—3) = 5 — 3 = 2 (+5) — (--3) = (+5) + (+3) = 5 + 3 = 8
Observemos que al sacar el segundo paréntesis, que está precedido por el signo —, en definitiva colocamos el número contenido en ese paréntesis con signo opuesto al que tenía primitivamente.

jueves, 1 de enero de 2015

MATEMATICA - Aritmética de los números negativos

POTENCIAS Y RAICES
POTENCIACION. — A lo dicho sobre la potencia de números naturales como caso de producto de factores iguales, cabe agregar que el signo se determinará aplicando la regla de los signos. Así resultará:
Las potencias de los números positivos son siempre positivas; y las potencias de números negativos son positivas si el exponente es par y negativas si el exponente es impar.
RADICACION. — Como la radicación es la operación que consiste en calcular la base de una potencia conocida, esa potencia y el exponente, al conservar esta definición habrá que advertir que hay casos en los cuales esa operación no se puede realizar con números enteros, ni fraccionarios, positivos ni negativos.
Así, mientras que es:
²v 169 = 13 por ser 13² = 169 ³v —8 = --2 por ser (—2)³ = —8
No se puede hallar v—169 porque no existe ningún número (positivo o negativo) que elevado al cuadrado dé resultado negativo.