MATEMATICA - Geografía matemática

DEMOSTRACION DE LAS DOS PROPIEDADES DE LA PROYECCION ESTEREOGRAFICA
1) El plano ß tangente a la esfera en P es paralelo a a. Sea a' el plano tangente a la esfera en A' y llamemos i a la intersección de ß y a'.
Los dos planos tangentes ß y a' trazados por i son simétricos respecto del plano diametral que pasa por i; luego para todo par de puntos MN elegidos en i se verifica la igualdad de ángulos:
MPN = MA'N
Las rectas A'M y A'N son tangentes a la esfera en A' y los planos proyectantes desde P forman un diedro de arista PA'; su sección por a y por ß, que son planos paralelos, son ángulos iguales:
MPN = mAn
Luego:
MA'N = mAn.
Queda así probada la conservación de ángulos. De la simetría antedicha respecto del plano diametral iO resulta además que la tangente A'M forma con PA' ángulo igual que la tangente PM o su paralela Am. Es decir:
MA'A=mAA'
Luego no sólo se conservan los ángulos de las tangentes entre sí, sino también el ángulo de cada tangente con el rayo proyectante se conserva al proyectar; relación útil para demostrar la segunda propiedad.
2) Sea C' una circunferencia trazada sobre la esfera y que no pase por P. Los planos tangentes a la esfera por los diferentes puntos de C' forman un cono cuyo vértice es O'. Sea O la proyección de O', y sea A la proyección de un punto A' de la circunferencia C'.
En virtud de la conservación del ángulo de la tangente con el rayo proyectante son iguales los ángulos A'=A, luego trazando O'A"//OA, resulta isósceles A'O'A", o sea O'A" = g (generatriz del cono):
OA = O'A" . PO/PO' = constante
La curva proyección es por tanto la circunferencia de centro C y radio g . PO/PO'.