MATEMATICA - Geometría proyectiva elemental

GENERALIZACION DE PUNTOS, ANGULOS Y TRIANGULOS
Los geómetras aman la simetría y desde tiempo pretérito veían con disgusto muchas faltas de simetría en el edificio geométrico. Así, por ejemplo, hay gran analogía entre la serie formada por los puntos de una recta y el haz de rectas que pasan por un punto (llamadas rayos del haz).
Pero afean esta analogía excepciones como éstas:
Serie de puntos: Dos puntos de una recta determinan un solo segmento que tiene esos extremos. Cada punto divide a la recta. Dos puntos cualesquiera determinan una recta.
Haz de rayos: Dos rayos de un haz determinan cuatro ángulos y dos semirrectas determinan dos ángulos. Cada rayo no divide al haz. Dos rectas no paralelas determinan un punto.
Estas asimetrías y casos de excepción indujeron al francés Poncelet y a los alemanes Steiner y Staudt a generalizar los conceptos introduciendo puntos y rectas impropios, para lograr la simetría y evitar las excepciones. Es el método seguido por todas las ciencias, que alcanzan la sencillez mediante la complicación. Veamos cómo se logra esto muy fácilmente.
Cortemos el haz S por la secante s; numerando con 1, 2, 3,... los rayos y sus correspondientes puntos; al recorrer el haz un rayo móvil, el punto móvil recorrerá la recta, pero con discontinuidad, pues primero avanza hacia la derecha sin fin y de un salto reaparece por la izquierda. Este salto y la ausencia de punto correspondiente al rayo 3, paralelo a s, se salvan con este convenio: dos rectas paralelas tienen común un punto impropio; la recta así completada con ese punto impropio es cerrada y al pasar por él reaparece el punto por el lado opuesto. Con este convenio se logra la perfecta correlación entre serie y haz:
Dos puntos cualesquiera determinan una recta. Ningún punto divide a la recta. Dos puntos dividen a la recta en dos segmentos.
Dos rectas cualesquiera determinan un punto. Ningún rayo divide al haz. Dos rayos dividen al haz en dos ángulos.
En la figura que sigue salta a la vista la correspondencia entre segmentos y ángulos, pero nótese que son ángulos completos (uno de ellos está rayado) y las dos partes que en Geometría elemental se llaman ángulos están unidas por los puntos impropios o direcciones intermedias entre los puntos impropios a y ß.
Cada una de estas dos partes que forman un ángulo compuesto (por ejemplo el II), son en Geometría proyectiva triángulos con un lado impropio. La palabra ángulo en Geometría proyectiva significa siempre ángulo completo y no será preciso repetirlo. Hay triángulos de formas todavía más extravagantes. En efecto, de igual modo que hemos definido los ángulos como las dos partes en que dos rectas dividen al plano, diremos triángulos a las dos partes en que una secante divide al ángulo. El plano se compone, pues, de 4 triángulos.
El principiante se extrañará de que se llame triángulo a esa figura extraña como II (cuyo contorno formado por un segmento finito y dos infinitos se ha reforzado en el dibujo), pero si proyecta a II desde un punto S exterior al plano, resulta un triedro que nada tiene de extraño, de igual modo que el que se obtiene proyectando desde el mismo punto el I.