MATEMATICA - Geometría proyectiva elemental

LAS CUATERNAS ARMONICAS
La Geometría elemental distingue diversos tipos de cuadriláteros o cuadrivértices; en Geometría proyectiva hay un solo tipo de cuadriláteros y un solo tipo de cuadrivértices. Cuatro puntos A, B, C, D tales que cada tres no están alineados, forman un cuadrivértice y las seis rectas que los unen dos a dos son sus lados; las intersecciones de lados, distintas de los vértices, son los tres puntos diagonales M, N, P.
Dado el par de puntos M, N„ si se construye un cuadrivértice con estos puntos diagonales, el tercer par de lados determina sobre la recta MN un par XY que se llama armónico respecto del MN, o armónicamente separados por M y N. Dado X, su conjugado Y se construye mediante un cuadrivértice ABCD, como indica la figura, sin más instrumento que la regla; si se adopta otro cuadrivértice A'B'C'D' (como el dibujado de trazos) resulta el mismo Y. Se trata, pues, de una relación intrínseca independiente de la figura auxiliar, como resulta con método geométrico puro muy sencillamente, o bien con cálculo algo largo; escribiendo las ecuaciones de las rectas se llega a este resultado: Si se adopta X como origen, las abscisas m, n de los puntos M, N están ligadas así:
2/y = 1/m + 1/n
(y se llama medio armónico de m y n).
Puesto que la definición de la cuaterna armónica se basa en las relaciones estar en y pasar por, que se conservan al proyectar un plano sobre otro, resulta que un cuadrivértice completo se proyecta según otro, y una cuaterna armónica se proyecta según otra cuaterna armónica. Veamos algunos casos sencillos. Si A es impropio (por ejemplo la dirección perpendicular a la recta) y X es el punto medio de MN, salta a la vista que Y es el punto impropio de la recta. Si X es cualquiera y elegimos P, Q simétricos respecto de N, es armónica la cuaterna APNQ y basta trazar QX hasta cortar en S a la recta paralela: la proyección desde S da la cuaterna MXNY.
MX/NX = MS/NQ = —MS/NP = —MY/NY
Es decir: La razón de distancias a los puntos M, N desde dos conjugados armónicos son iguales y de signo contrario.