MATEMATICA - Trigonometría rectilínea y esférica

FORMULAS LOGARITMICAS
Con los casos que hemos considerado se pueden resolver todos los problemas relativos a los triángulos. Si se dispone de máquinas de calcular o de tablas de cuadrados y productos, las operaciones no presentan dificultad alguna, pero si se carece de ellas conviene conocer fórmulas logarítmicas, esto es fórmulas que por carecer de sumas y restas son particularmente accesibles al cálculo con logaritmos. Ya en el caso I de los triángulos oblicuángulos nos encontramos con fórmulas no logarítmicas. Para transformarlas deberemos hacer una serie de operaciones algebraicas. Como:
cos a = (b² + c² — a²) / 2bc
Resulta:
1 — cos a = [2bc — (b² + c² — a²)] / 2bc
Que se puede escribir, aplicando el desarrollo del cuadrado de una diferencia:
Siendo la diferencia de los cuadrados de dos números es igual a la suma por la diferencia de esos números y por consiguiente resulta:
1 — cos a = (a + b — c) (a — b + c) / 2bc
Procediendo en la misma forma tendríamos:
Podemos dar a estas dos expresiones forma más sencilla designando con la letra p al semiperímetro:
a + b + c = 2p
Si en ambos miembros de esta igualdad restamos 2c obtenemos esta otra igualdad:
a + b — c = 2p — 2c = 2 . (p — c)
Análogamente:
a — b + c = —2 . (p — b) b + c — a = 2 . (p — a)
En esta forma las fórmulas anteriores pueden escribirse:
1 — cos a = 2 (p—c) (p—b) / bc
1 + cos a = 2 . p (p—a) / bc
Multiplicando ordenadamente estas igualdades por ser:
sen² a = 1— cos² a
Resulta:
sen² a = 4p (p—a) (p—b) (p—c) / b² c²
Y extrayendo la raíz cuadrada obtenemos finalmente la fórmula logarítmica:
sen a = (2/bc) v p (p—a) (p—b) (p—c)
Y otras dos expresiones análogas para determinar ß y ?. En esta forma también se obtiene el área, pues:
Area = ½ b c sen a v= p (p —a) (p — b) (p— c)
Utilísima expresión conocida con el nombre de fórmula de Herón.
Se puede llegar a expresiones logarítmicas aun más simples para resolver el caso I, y que nos limitaremos a consignar:
cos a/2 = v p (p —a) / bc
cos ß/2 = v p (p —b) / ac
cos ?/2 = v p (p —c) / ab