AREAS Y VOLUMENES DE CUERPOS REDONDOS
Los cilindros, conos y troncos de cono son superficies desarrollables, es decir que se pueden extender sobre un plano. Las áreas laterales y totales se calculan muy fácilmente recordando las fórmulas de la longitud de la circunferencia y de la superficie del círculo. Para hallar los volúmenes debemos recurrir al principio de Cavalieri, y como en él no se hacía cuestión si la sección debía estar limitada por rectas o curvas, todas las fórmulas de prismas, pirámides y troncos se extienden sin dificultad por analogía con la de los cilindros, conos y troncos de cono respectivamente. El cuerpo que presenta mayor dificultad es la esfera, por no ser desarrollable en el plano. Se demuestra que el área de la esfera es igual a cuatro veces el área del círculo máximo, es decir:
A = 4 p r²
Intuitivamente podemos calcular el volumen de la esfera descomponiéndola en muchos cuerpos elementales "casi prismáticos", mediante planos que pasan por el centro.
Como el volumen de cada una es un tercio del área de la base por la altura, y la altura de estos elementos es común e igual al radio, se podrá separar como factor común de la suma de las bases, que en conjunto forman la superficie esférica. Así resulta:
Volumen de la esfera = 1/3 . r . área sup. esférica = 1/3 . r .4 p r² = 4/3 p r²
El genial Arquímedes estaba tan orgulloso de sus descubrimientos sobre cubicación de las figuras esféricas, que dispuso se grabara en su tumba la figura que recuerda la siguiente relación por él descubierta: El volumen de la esfera es igual al del cilindro circunscrito menos el del cono de igual base y altura.
Gracias a esta figura mágica que condensa gran cantidad del pensamiento griego, pudo Cicerón encontrar la tumba del inmortal siracusano.
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