ARITMETICA - Introducción a la teoría de los números

LOS ENIGMAS DE LA TEORIA DE LOS NUMEROS
Muchos problemas sobre números primos y más en general los referentes a los números enteros, se caracterizan por la simplicidad de sus enunciados y por la dificultad increíble de su resolución. El gran matemático Gauss (1777-1855), enamorado de su belleza inaccesible llegó a decir que "la matemática es la reina de las ciencias y la teoría de los números la reina de las matemáticas". He aquí algunos ejemplos famosos de problemas obsesionantes: 1. El matemático Goldbach observó a mediados del siglo XVIII que cualquier número puede ser representado por la suma de dos números primos. Por ejemplo: 4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 8 = 5 + 3, 10 = 5 + 5, 12 = 5 + 7, ..., 100 = 97 + 3, etc. Propuesto este problema a Euler, matemático máximo de aquella centuria, sigue hoy sin resolver afirmativa o negativamente, a pesar de los esfuerzos de geniales matemáticos y de los poderosos instrumentos puestos en juego. Ningún progreso importante se habla logrado en dos siglos hasta que en 1931 el malogrado matemático ruso Schnirelmann (1905-1938) dio una primera respuesta probando que todo entero positivo puede ser representado por la suma de no más de 300.000 números primos. Según Goldbach, bastan 2 primos para componer cualquier número; pero Schnirelmann necesitó nada menos que 300.000 sumandos primos, y, sin embargo, éste fue un gran progreso, pues abría un camino hacia la solución; otro gran salto ha dado recientemente Vinogradov: bastan 4 sumandos primos; esperemos la solución al apasionante problema. Se ha observado que frecuentemente se presentan números primos gemelos o consecutivos, es decir, de la forma n y n+2. Por ejemplo 3 y 5, 11 y 13, 29 y 31, etc. ¿Hay infinitos de estos pares de primos gemelos? Este problema aún no se ha resuelto. En la relación pitagórica a² + b² = c² hay grupos de números enteros tales como (3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), etc., que la satisfacen. ¿Hay números enteros que satisfacen la relación a?+ b? = c? (n > 2)? Este es el celebérrimo teorema de Fermat (1601-1665), quien afirmó haberlo resuelto en forma negativa. Desde entonces el teorema ha desafiado a los sabios, que no han hallado aún la solución afirmativa ni negativa. La Academia de Ciencias de Gottingen fue encargada de adjudicar un premio de 100.000 marcos oro a quien lo resolviera. Puede imaginarse la lluvia torrencial de pretendidas soluciones, enviadas por los aficionados de todo el orbe; pero el enigma sigue inextricable.