MATEMATICA – Cuerpos geométricos

LOS CINCO POLIEDROS REGULARES
Parece ser que ya los egipcios conocían al tetraedro, exaedro y octaedro, tres cuerpos poliedros notables que se caracterizan por tener todas las aristas, ángulos y caras iguales.
De allí Pitágoras los llevó a su patria y él con sus discípulos descubrieron el icosaedro, con sus veinte caras triangulares iguales, creyendo así haber agotado los poliedros regulares. Llevados de su espíritu cosmológico les asignaron a estos cuatro poliedros el carácter de componentes del Universo, suponiendo que los cuatro elementos: tierra, aire, fuego y agua estaban compuestos por partículas de estas cuatro formas poliédricas. Tal teoría atómica fracasó cuando más tarde descubrieron el dodecaedro, poliedro de doce caras pentagonales; pero pronto le encontraron interpretación física, admitiendo que el Universo entero tiene esta forma dodecaédrica.
¿Hay algún otro poliedro regular además de estos cinco, ya conocidos por los griegos? Un simple razonamiento nos dará la respuesta: Para construir poliedros regulares deben utilizarse polígonos regulares, es decir, triángulos equiláteros, cuadrados, pentágonos, hexágonos regulares, etc. En cada vértice del poliedro tienen que concurrir por lo menos tres de tales polígonos regulares y teniendo presente que la suma de todas las caras de un ángulo poliedro debe valer, menos que cuatro rectos, caben las siguientes posibilidades: Con caras triangulares, cada uno de cuyos ángulos mide 60°, podemos reunir tres, cuatro y aun cinco de tales caras; así obtenemos, respectivamente, el tetraedro, el octaedro y el icosaedro. No podemos hacer concurrir seis triángulos porque 6 x 60° = 360°, y la suma de las caras no resultaría inferior a cuatro rectos. Con caras cuadradas, cada uno de cuyos ángulos mide 90°, sólo podremos reunir tres de tales caras, puesto que cuatro yacen ya sobre un plano. Así tenemos el cubo. Con caras pentagonales, sólo podremos hacer concurrir tres de tales caras porque cada ángulo mide 108°. Así se obtiene el dodecaedro. No se puede construir un poliedro regular con hexágonos o polígonos de mayor número de lados aun, porque no se pueden hacer concurrir tres o más de tales caras, dado que se excedería a los cuatro rectos que exige el teorema de los ángulos poliedros. En resumen, no existen más poliedros regulares que los cinco ya estudiados.