MATEMATICA - Geometría no euclidiana elemental

PROPIEDADES NO EUCLIDIANAS
Conformémonos con enunciar, en el recuadro, algunos resultados:
GEOMETRIA HIPERBOLICA (Gauss, Lobatschevski, Bolyai)
1) Toda recta divide al plano y tiene longitud infinita. 2) Por cada punto exterior a una recta pasan infinitas no-secantes, separadas de las secantes por dos rectas llamadas paralelas. 3) La suma de los ángulos de todo triángulo es menor que dos rectos; la diferencia se llama defecto angular.
GEOMETRIA ELIPTICA Y ESFERICA (Riemann)
1) Ninguna recta divide al plano; todas tienen longitud finita. 2) Dos rectas cualesquiera del plano se cortan; todas las rectas que pasan por un punto exterior a una recta las cortan. No hay paralelas. 3) La suma de los ángulos de todo triángulo es mayor que dos rectos; la diferencia se llama exceso angular.
Como consecuencia, la suma de los ángulos de un cuadrilátero es menor que cuatro rectos en la primera y mayor que cuatro rectos en la segunda. Si se construye un cuadrilátero con tres ángulos rectos, el cuarto es agudo en la primera, obtuso en la segunda.
A modo de ejemplo vamos a demostrar un resultado muy importante: consideremos un triángulo ABC suma de dos: ABD y ADC.
Exceso ABD = a' + ß + d' — 2R Exceso ADC = a" + ß + d" — 2R
Suma = a + ß + ? — 2R
Puesto que: d' + d" = 2R a' + a" = a
Por tanto: El exceso del triángulo suma es la suma de los excesos. Lo mismo vale para el defecto en la Geometría hiperbólica y ambas propiedades aditivas valen por tanto para cualquier número de sumandos. El área tiene esta misma propiedad aditiva y habiendo correspondencia en la igualdad y la suma, son proporcionales. Es decir: El (exceso / defecto) angular de un triángulo es proporcional a su área. La teoría de áreas es, pues, más sencilla que en la Geometría euclidiana, pues basta medir los ángulos. Así acontece en la Geometría de la esfera: si se adopta el triángulo trirrectángulo como unidad de área (exceso = R) y se miden los excesos en ángulos rectos, el número que da el exceso es el número que da el área. En las geometrías no euclidianas no existen figuras semejantes, es decir con ángulos iguales pero con tamaños distintos. Así, se observa en la esfera que no hay triángulos trirrectángulos pequeños; todos son iguales.
La Geometría hiperbólica puede realizarse dentro del espacio euclidiano sobre la superficie llamada seudoesfera, de igual modo que la Geometría elíptica se realiza en el plano proyectivo y la esférica en la superficie esférica. Las rectas sobre esa seudoesfera son los lados tirantes o bien, con lenguaje técnico, las líneas geodésicas. De este modo, aunque parezca paradójico, la consistencia lógica de la Geometría hiperbólica, esto es la verdad de la Geometría no euclidiana, se demuestra apoyándose en la verdad de la euclidiana; donde la "verdad" significa en ambos casos "ausencia de contradicción".