MATEMATICA - Topología elemental

DEFORMACIONES Y RECIPROCIDADES
Así como la Geometría elemental se basa en los movimientos (traslaciones y rotaciones) y la Geometría proyectiva en proyecciones y secciones, en cambio la Topología se basa enlas deformaciones. Hay muchos juegos de ingenio, de esencia topológica, que se resuelven así muy fácilmente.
Ejemplo: En un terreno cercado hay tres casas (1, 2, 3) con sus correspondientes salidas (1, 2, 3). ¿Cómo trazar los tres caminos que no se corten? Es obvio que si la disposición de las casas y salidas fuera la de la segunda figura bastaría trazar derechos los caminos. Pásese por deformaciones progresivas hasta la figura primera y se tendrá la solución.
Además de las deformaciones hay otro recurso muy útil en ciertos problemas en que aparecen regiones de plano, con fronteras comunes, al modo de las provincias en un país; representando cada región por un punto, la conexión de cada frontera o puente se puede representar por un trazo que une los dos puntos y resulta un reticulado. Todo problema se transforma en otro, a veces muy fácil. Recordemos el famoso problema de los "Puentes de Koenigsberg". Se trata de saber si un paseante (como lo era habitualmente el famoso filósofo Kant) puede recorrerlos todos sin pasar dos veces por el mismo puente.
Representando las regiones A, B, C, D por sendos puntos, se tiene el reticulado de la segunda figura y se trata de recorrerlo de un solo trazo sin pasar dos veces por el mismo segmento. Salta a la vista que el número de segmentos así dibujados, concurrentes en cada punto, debe ser par excepto en el inicial y el final, y como en este caso hay cuatro vértices impares "el problema de los puentes es imposible", como lo demostró Euler en 1736.
Otro conocido problema es de de los cuatro colores: Todos los estudiantes de geografía han pintarrajeado mapas en colores. Como dos provincias o países fronterizos deben tener colores distintos, se comprende que por lo menos se precisan cuatro colores, aun para mapas tan sencillos como el de la figura. ¿Bastarán cuatro colores para pintar cualquier mapa? En el diagrama de la figura, correlativa del mapa anterior, el problema sería éste: ¿Es posible numerar todos los vértices de una red con sólo los números 1, 2, 3, 4, de modo que dos vértices unidos tengan número distinto?
Pero ¿será posible para todo mapa, por complicado que sea? El problema sigue sin solución para el plano y para la esfera, y este indescifrable enigma es más desconcertante, porque en el caso del toro o superficie anular, está resuelto hace mucho tiempo: "Son necesarios y suficientes siete colores." La figura muestra claramente que son necesarios siete colores.