MATEMATICA - Geometría no euclidiana elemental

UNA HIPOTETICA GEOMETRÍA EMPIRICA
Si la Tierra hubiera estado siempre cubierta de niebla, no se habría podido definir la línea recta mediante los rayos luminosos y deberíamos conformarnos con el hilo tenso. Suponiendo el suelo bien liso, sobre él podríamos construir una geometría plana: dos puntos determinan una recta, un segmento se puede transportar, multiplicar y dividir en partes iguales, etc., etc. Es decir, habríamos descubierto empíricamente las propiedades primeras de Euclides y de ellas deduciríamos las demás. ¿Qué partido tomar al abordar el problema del paralelismo? La solución más sencilla es suponer que por cada punto exterior a una recta pasa una sola no secante o sea una paralela a ésta; corolario: suma de ángulos de cualquier triángulo igual a dos rectos. Ahora bien, dentro de nuestra hipótesis de lisura perfecta de la superficie, también cabría construir triángulos suficientemente grandes, para que se notara de este modo el error de tal conclusión. Si para fijar las ideas suponemos a nuestros hipotéticos sabios en el polo (lugar especialmente adecuado para hacer Geometría sobre el suelo helado) y que allí trazan dos rectas perpendiculares que prolongan más y más hasta llegar al ecuador, completando con éste el triángulo, al medir los ángulos verían con asombro que los tres son rectos, es decir los tres ángulos del triángulo suman tres rectos. En triángulos grandes, aunque no tan enormes, el error sería mucho más pequeño que ese tremendo de 50%, pero quizá perceptible con instrumentos adecuados; y como consecuencia de este experimento, la Geometría euclidiana sería borrada de los programas escolares y en su lugar se impondría una Geometría no euclidiana que diría entre otras muchas verdades:
1) Dos rectas siempre se cortan. 2) No hay paralelas. 3) La suma de los ángulos de todo triángulo supera a dos rectos y el exceso angular crece con el área; en los triángulos pequeños la suma vale sensiblemente dos rectos. 4) La longitud de la circunferencia de radio r es 2 p r, donde k vale 3,1415... si la circunferencia es muy pequeña, pero disminuye hasta valer 2 (en el caso de radio igual a un cuadrante, como lo tiene el ecuador), etc.
¿Estaremos nosotros en situación análoga? ¿Será esférico nuestro espacio tridimensional formado por los rayos luminosos que llamamos rectas? Esto puede interpretarse de dos modos: a) ese espacio es curvo dentro de un hiperespacio recto de más dimensiones, o simplemente, b) en él no vale la Geometría euclidiana y en cambio se verifican las propiedades 1, 2, 3, 4, ... que acabamos de enumerar. Gauss realizó ese experimento midiendo cuidadosamente grandes triángulos terrestres, pero eran demasiado exiguos para acusar diferencias; tampoco los triángulos de base terrestre con visuales a los astros dieron resultado positivo y la conclusión fue ésta: si el Universo no es euclidiano, su curvatura es imperceptible en la pequeña región que no es accesible; de igual modo que la Geometría de los esquimales sería sensiblemente euclidiana dentro del círculo polar. La moderna teoría de la Relatividad ha venido a valorar esta hipótesis sobre el espacio físico, el cual sería ilimitado (esto es sin frontera) pero finito en su dimensión. Otros creadores de la Geometría no euclidiana no se preocuparon, como Gauss, de su verdad física sino sólo de su verdad lógica, y así construyeron la geometría que hoy llamamos hiperbólica, menos revolucionaria que la enunciada en párrafos anteriores, llamada esférica (en la cual no subsiste el postulado de que dos puntos determinan una recta) o de su hermana la Geometría elíptica, en la que vale este postulado: pero una recta no divide al plano.